（21）（本小题满分12分） 已知函数 f(x)= (x^…——2009 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
解：
（I）当 $a=b=-3$ 时，$f(x)=\left(x^{3}+3 x^{2}-3 x-3\right) e^{-x}$ ，故

$$ \begin{aligned} & f^{\prime}(x)=-\left(x^{3}+3 x^{2}-3 x-3\right) e^{-x}+\left(3 x^{2}+6 x-3\right) e^{-x} \\ & =-e^{-x}\left(x^{-3}-9 x\right) \\ & =-x(x-3)(x+3) e^{-x} \end{aligned} $$

当 $x<-3$ 或 $00$ ；

当 $-33$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ ．
从而 $f(x)$ 在 $(-\infty,-3),(0,3)$ 单调增加，在 $(-3,0),(3,+\infty)$ 单调减少．
（II）$f^{\prime}(x)=-\left(x^{3}+3 x^{2}+a x+b\right) e^{-x}+\left(3 x^{2}+6 x+a\right) e^{-x}=-e^{-x}\left[x^{3}+(a-6) x+b-a\right]$ ．
由条件得：$f^{\prime}(2)=0$ ，即 $2^{3}+2(a-6)+b-a=0$ ，故 $b=4-a$ ，从而

$$ f^{\prime}(x)=-e^{-x}\left[x^{3}+(a-6) x+4-2 a\right] $$

因为 $f^{\prime}(\alpha)=f^{\prime}(\beta)=0$ ，所以

$$ \begin{aligned} x^{3}+(a-6) x+4-2 a & =(x-2)(x-\alpha)(x-\beta) \\ & =(x-2)\left(x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta\right) \end{aligned} $$

将右边展开，与左边比较系数得，$\alpha+\beta=-2, \alpha \beta=a-2$ ．故

$$ \beta-\alpha=\sqrt{(\beta+\alpha)^{2}-4 \alpha \beta}=\sqrt{12-4 a} $$

又 $(\beta-2)(\alpha-2)<0$ ，即 $\alpha \beta-2(\alpha+\beta)+4<0$ ．由此可得 $a<-6$ ．

于是 $\beta-\alpha>6$ ．