2020_新课标 II 卷 (2020·理)
22．已知曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程分别为 $C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos ^{2} \theta, \\ y=4 \sin ^{2} \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），$C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t}, \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）。
（1）将 $C_{1}, C_{2}$ 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 $C_{1}, C_{2}$ 的交点为 $P$ ，求圆心在极轴上，且经过极点和 $P$ 的圆的极坐标方程．
【答案】
①$C_{1}: x+y=4 ; C_{2}: x^{2}-y^{2}=4$ ；
②$\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$ ．
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数 $\theta$ 和 $t$ 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 $P$ ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程．
【详解】①由 $\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1$ 得 $C_{1}$ 的普通方程为：$x+y=4$ ；
由 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\frac{1}{t} \\ y=t-\frac{1}{t}\end{array}\right.$ 得：$\left\{\begin{array}{l}x^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2 \\ y^{2}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}-2\end{array}\right.$ ，两式作差可得 $C_{2}$ 的普通方程为：$x^{2}-y^{2}=4$ ．
②由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ x^{2}-y^{2}=4\end{array}\right.$ 得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$ ，即 $P\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$ ；
设所求圆圆心的直角坐标为 $(a, 0)$ ，其中 $a>0$ ，
则 $\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(0-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}$ ，解得：$a=\frac{17}{10}, \therefore$ 所求圆的半径 $r=\frac{17}{10}$ ，
∴ 所求圆的直角坐标方程为：$\left(x-\frac{17}{10}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{17}{10}\right)^{2}$ ，即 $x^{2}+y^{2}=\frac{17}{5} x$ ，
∴ 所求圆的极坐标方程为 $\rho=\frac{17}{5} \cos \theta$ ．
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型。