（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 x O y 上…——2011 高考数学第 20 题答案解析

【解析】解：（1）如图所示，连接 $O M$ ，则 $|P M|=|O M|$
$\because \angle M P O=\angle A O P$,
∴ 动点 $M$ 满足 $M P \perp l$ 或 $M$ 在 $x$ 的负半轴上，设 $M(x, y)$
①当 $M P \perp l$ 时，$|M P|=|x+2|,|O M|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} |x+2|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，化简得 $y^{2}=4 x+4(x \geq-1)$

②当 $M$ 在 $x$ 的负半轴上时，$y=0(x<-1)$
综上所述，点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程为 $y^{2}=4 x+4(x \geq-1)$ 或 $y=0(x<-1)$
②由①知 $M$ 的轨迹是顶点为 $(-1,0)$ ，焦点为原点的抛物线和 $x$ 的负半轴 $y=0$
$(x<-1)$
（1）若 $H$ 是抛物线上的动点，过 $H$ 作 $H N \perp l$ 于 $N$
由于 $l$ 是抛物线的准线，根据抛物线的定义有 $|H O|=|H N|$
则 $|H O|+|H T|=|H N|+|H T|$
当 $N, H, T$ 三点共线时，$|H N|+|H T|$ 有最小值 $|T N|=3$
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求得此时 $H$ 的坐标为 $\left(-\frac{3}{4},-1\right)$
（2）若 $H$ 是 $x$ 的负半轴 $y=0(x<-1)$ 上的动点

显然有 $|H O|+|H T|>3$
综上所述，$|H O|+|H T|$ 的最小值为 3 ，此时点 $H$ 的坐标为 $\left(-\frac{3}{4},-1\right)$
（3）如图，设抛物线顶点 $A(-1,0)$ ，则直线 $A T$ 的斜率 $k_{A T}=-\frac{1}{2}$
∵ 点 $T(1,-1)$ 在抛物线内部，
∴ 过点 $T$ 且不平行于 $x, y$ 轴的直线 $l_{1}$ 必与抛物线有两个交点

则直线 $l_{1}$ 与轨迹 $E$ 的交点个数分以下四种情况讨论：

①当 $k \leq-\frac{1}{2}$ 时，直线 $l_{1}$ 与轨迹 $E$ 有且只有两个不同的交点
②当 $-\frac{1}{2}（3）当 $k=0$ 时，直线 $l_{1}$ 与轨迹 $E$ 有且只有一个交点
（4）当 $k>0$ 时，直线 $l_{1}$ 与轨迹 $E$ 有且只有两个不同的交点
综上所述，直线 $l_{1}$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right] \cup(0,+\infty)$