（13分）（2016 天津）如图，四边形 ABCD 是平行…——2016 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（13分）（2016•天津）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 $\mathrm{AED} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{E} \mathrm{F} \| \mathrm{AB}, \mathrm{AB}=2, \mathrm{DE}=3, \mathrm{BC}=\mathrm{EF}=1, \mathrm{AE}=\sqrt{6}, \angle \mathrm{BAD}=60^{\circ}, \mathrm{G}$ 为 BC 的中点．
（1）求证： $\mathrm{FG} \|$ 平面 BED ；
（2）求证：平面 $\mathrm{BED} \perp$ 平面 AED ；
（3）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值．

【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形 OGEF 是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据余弦定理求出 $\mathrm{BD}=\sqrt{3}$ ，继而得到 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AD}$ ，再根据面面垂直的判定定理即可证明 ；
（3）先判断出直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案。
【解答】证明：（1） BD 的中点为 O ，连接 OE ， OG ，在 $\triangle \mathrm{BCD}$ 中，
$\because \mathrm{G}$ 是 BC 的中点，
$\therefore \mathrm{OG} \| \mathrm{DC}$ ，且 $\mathrm{OG}=\frac{1}{2} \mathrm{DC}=1$ ，
又 $\because E F\|A B, ~ A B\| D C$ ，
$\therefore \mathrm{EF} \| \mathrm{OG}$ ，且 $\mathrm{EF}=0 \mathrm{G}$ ，
即四边形OGEF是平行四边形，
$\therefore \mathrm{FG} \| \mathrm{OE}$ ，
$\because \mathrm{FG} \not \subset$ 平面 BED ， $\mathrm{OE} \subset$ 平面 BED ，
$\therefore \mathrm{FG} \|$ 平面 BED ；
（2）证明：在 $\triangle \mathrm{ABD}$ 中， $\mathrm{AD}=1, \mathrm{AB}=2, \angle \mathrm{BAD}=60^{\circ}$ ，
由余弦定理可得 $\mathrm{BD}=\sqrt{3}$ ，仅而 $\angle \mathrm{ADB}=90^{\circ}$ ，
即 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AD}$ ，
又 ∵ 平面 $\mathrm{AED} \perp$ 平面 ABCD ，
$\mathrm{BD} \subset$ 平面 ABCD ，平面 $\mathrm{AED} \cap$ 平面 $\mathrm{ABCD}=\mathrm{AD}$ ，
$\therefore \mathrm{BD} \perp$ 平面 AED ，
$\because \mathrm{BD} \subset$ 平面 BED ，
∴ 平面 $\mathrm{BED} \perp$ 平面 AED ．

（III）$\because \mathrm{EF} \| \mathrm{AB}$ ，
∴ 直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角，
过点 A 作 $\mathrm{AH} \perp \mathrm{DE}$ 于点 H ，连接 BH ，
又平面 $\mathrm{BED} \cap$ 平面 $\mathrm{AED}=\mathrm{ED}$ ，
由（2）知 $\mathrm{AH} \perp$ 平面 BED ，
∴ 直线 AB 与平面 BED 所成的角为 $\angle \mathrm{ABH}$ ，
在 $\triangle \mathrm{ADE}, \mathrm{AD}=1, \mathrm{DE}=3, \mathrm{AE}=\sqrt{6}$ ，由余弦定理得 $\cos \angle \mathrm{ADE}=\frac{2}{3}$ ，
$\therefore \sin \angle \mathrm{ADE}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，
$\therefore \mathrm{AH}=\mathrm{AD} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，
在Rt $\triangle \mathrm{AHB}$ 中， $\sin \angle \mathrm{ABH}=\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AB}}=\frac{\sqrt{5}}{6}$ ，
∴ 直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 $\frac{\sqrt{5}}{6}$

【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角 ，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题。