（5分）已知函数 f(x)=cos x sin 2 x，下…——2013 高考数学第 12 题答案解析

【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．
【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确。根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得 $f(x)=2 \sin x\left(1-\sin ^{2} x\right)$ ，再换元：令 $t=\sin x$ ，得到关于 $t$ 的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得 $f(x)$ 的最大值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ ，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确。由此可得本题的答案。

【解答】解：对于A，因为 $f(\pi+x)=\cos (\pi+x) \sin (2 \pi+2 x)=-\cos x \sin 2 x$ ， $f(\pi-x)=\cos (\pi-x) \sin (2 \pi-2 x)=\cos x \sin 2 x$ ，所以 $f(\pi+x)+f(\pi-x)=0$ ，可得 $y=f(x)$ 的图象关于（ $\pi, 0$ ）中心对称，故A正确；
对于 $B$ ，因为 $f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right) \sin (\pi+2 x)=-\sin x(-\sin 2 x)=\sin x \sin 2 x$
$f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \sin (\pi-2 x)=\sin x \sin 2 x$ ，所以 $f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=f\left(\frac{\pi}{2}-x\right.$ ），

可得 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称，故B正确；
对于 $C$ ，化简得 $f(x)=\cos x \sin 2 x=2 \cos ^{2} x \sin x=2 \sin x\left(1-\sin ^{2} x\right)$ ，令 $t=\sin x, f(x)=g(t)=2 t\left(1-t^{2}\right),-1 \leq t \leq 1$ ，
$\because g(t)=2 t\left(1-t^{2}\right)$ 的导数 $g^{\prime}(t)=2-6 t^{2}=2(1+\sqrt{3} t) \quad(1-\sqrt{3} t)$
∴ 当 $\mathrm{t} \in\left(-1,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ 时或 $\mathrm{t} \in\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right)$ 时 $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{t})<0$ ，函数 $\mathrm{g}(\mathrm{t})$ 为减函数；
当 $\mathrm{t} \in\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ 时 $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{t})>0$ ，函数 $\mathrm{g}(\mathrm{t})$ 为增函数。
因此函数 $g(t)$ 的最大值为 $t=-1$ 时或 $t=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时的函数值，

结合 $g(-1)=0由此可得 $f(x)$ 的最大值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ 而不是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，故C不正确；
对于 $D$ ，因为 $f(-x)=\cos (-x) \sin (-2 x)=-\cos x \sin 2 x=-f(x)$ ，所以 $f(x$ ）是奇函数．

因为 $f(2 \pi+x)=\cos (2 \pi+x) \sin (4 \pi+2 x)=\cos x \sin 2 x=f(x)$ ，
所以 $2 \pi$ 为函数的一个周期，得 $f(x)$ 为周期函数。可得 $f(x)$ 既是奇函数，又是周期函数，得 D 正确．

综上所述，只有C项不正确。
故选：C．
【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题。