设 $f(x) = 2|x-1|$，$g(x) = x^2 - 2ax + 4a - 2$。则 $F(x) = \min\{f(x), g(x)\}$。
（I）求使得 $F(x) = g(x)$ 成立的 $x$ 的取值范围，即求满足 $g(x) \le f(x)$ 的 $x$ 的范围。
由 $a \ge 3$，分两种情况讨论：
1. 当 $x \le 1$ 时，$f(x) = 2(1-x) = 2-2x$。
$g(x) - f(x) = x^2 - 2ax + 4a - 2 - (2-2x) = x^2 - 2(a-1)x + 4a - 4$。
配方得：$(x-(a-1))^2 - (a-1)^2 + 4a - 4 = (x-a+1)^2 - (a^2-2a+1) + 4a - 4 = (x-a+1)^2 - a^2 + 6a - 5$。
或者更简单地，考察 $h(x) = g(x) - f(x)$ 在 $(-\infty, 1]$ 上的最小值。
$h(x) = x^2 - 2(a-1)x + 4a - 4$。对称轴 $x = a-1$。
因为 $a \ge 3$，所以 $a-1 \ge 2 > 1$。
故 $h(x)$ 在 $(-\infty, 1]$ 上单调递减。
$h(x) \ge h(1) = 1 - 2(a-1) + 4a - 4 = 1 - 2a + 2 + 4a - 4 = 2a - 1$。
因为 $a \ge 3$，所以 $2a - 1 \ge 5 > 0$。
即在 $x \le 1$ 时，$g(x) > f(x)$ 恒成立，此时 $F(x) = f(x) \neq g(x)$（除非 $f(x)=g(x)$，但此处严格大于）。
注：若考虑等号，需 $g(x) \le f(x)$。此处 $g(x) - f(x) > 0$，故无解。
2. 当 $x > 1$ 时，$f(x) = 2(x-1) = 2x - 2$。
$g(x) - f(x) = x^2 - 2ax + 4a - 2 - (2x - 2) = x^2 - 2(a+1)x + 4a$。
令 $g(x) - f(x) \le 0$，即 $x^2 - 2(a+1)x + 4a \le 0$。
方程 $x^2 - 2(a+1)x + 4a = 0$ 的两根为：
$x = \frac{2(a+1) \pm \sqrt{4(a+1)^2 - 16a}}{2} = (a+1) \pm \sqrt{(a+1)^2 - 4a} = (a+1) \pm \sqrt{a^2 - 2a + 1} = (a+1) \pm (a-1)$。
两根分别为 $x_1 = (a+1) - (a-1) = 2$， $x_2 = (a+1) + (a-1) = 2a$。
因为 $a \ge 3$，所以 $2 < 2a$。
不等式 $x^2 - 2(a+1)x + 4a \le 0$ 的解集为 $[2, 2a]$。
结合前提 $x > 1$，且 $[2, 2a] \subset (1, +\infty)$，
所以当 $x \in [2, 2a]$ 时，$g(x) \le f(x)$，即 $F(x) = g(x)$。
综上所述，使得 $F(x) = g(x)$ 成立的 $x$ 的取值范围是 $[2, 2a]$。
（II）（i）求 $F(x)$ 的最小值 $m(a)$。
$F(x) = \min\{f(x), g(x)\}$。
$f(x) = 2|x-1| \ge 0$，最小值为 $f(1)=0$。
$g(x) = (x-a)^2 - a^2 + 4a - 2$，开口向上，对称轴 $x=a$。
因为 $a \ge 3$，所以 $g(x)$ 的最小值为 $g(a) = -a^2 + 4a - 2$。
我们需要比较 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在整个定义域上的“下包络线”的最小值。
注意到 $F(x)$ 的图像由 $f(x)$ 和 $g(x)$ 中较低的部分组成。
在区间 $[2, 2a]$ 上，$F(x) = g(x)$；在其余部分，$F(x) = f(x)$（当 $g(x) > f(x)$ 时）。
实际上，$F(x)$ 的最小值即为 $\min \{ \min_{x \in \mathbb{R}} f(x), \min_{x \in \mathbb{R}} g(x) \}$ 这种说法并不完全准确，因为取最小值的点可能不在对方定义的“较小”区域内。
更严谨地：
$F(x)$ 是连续函数。
当 $x \in [2, 2a]$ 时，$F(x) = g(x)$。$g(x)$ 在此区间上的最小值取决于对称轴 $a$ 是否在区间内。
因为 $a \ge 3$，且区间为 $[2, 2a]$，显然 $2 \le a \le 2a$（因 $a \ge 2$），所以 $g(x)$ 在 $x=a$ 处取得全局最小值 $g(a) = -a^2 + 4a - 2$。
此时需判断该最小值是否真的被 $F(x)$ 取到。因为在 $x=a$ 处，$a \in [2, 2a]$，所以 $F(a) = g(a)$。
当 $x \notin [2, 2a]$ 时，$F(x) = f(x)$。
$f(x)$ 在 $(-\infty, 2)$ 和 $(2a, +\infty)$ 上的最小值是多少？
$f(x)$ 在 $x=1$ 处取最小值 0。$1 \notin [2, 2a]$，所以 $F(1) = f(1) = 0$。
因此，$F(x)$ 的候选最小值为 $0$ 和 $g(a) = -a^2 + 4a - 2$。
$F(x)$ 的最小值 $m(a) = \min \{ 0, -a^2 + 4a - 2 \}$。
令 $-a^2 + 4a - 2 = 0$，解得 $a = \frac{-4 \pm \sqrt{16-8}}{-2} = 2 \pm \sqrt{2}$。
因为 $a \ge 3$，所以临界点为 $a_0 = 2 + \sqrt{2}$。
当 $3 \le a \le 2+\sqrt{2}$ 时，$-a^2 + 4a - 2 \ge 0$，此时 $m(a) = 0$。
当 $a > 2+\sqrt{2}$ 时，$-a^2 + 4a - 2 < 0$，此时 $m(a) = -a^2 + 4a - 2$。
所以，$m(a) = \begin{cases} 0, & 3 \le a \le 2+\sqrt{2} \\ -a^2 + 4a - 2, & a > 2+\sqrt{2} \end{cases}$。
（ii）求 $F(x)$ 在 $[0, 6]$ 上的最大值 $M(a)$。
$F(x) = \begin{cases} f(x), & x \in [0, 2) \cup (2a, 6] \cap [0,6] \\ g(x), & x \in [2, 2a] \cap [0, 6] \end{cases}$
注意：分界点是 $f(x)=g(x)$ 的根 $2$ 和 $2a$。
已知 $a \ge 3$，所以 $2a \ge 6$。
因此在区间 $[0, 6]$ 上：
当 $0 \le x < 2$ 时，$x < 2 \le 2a$，且 $x$ 不在 $[2, 2a]$ 内（左端点除外，但在 $x=2$ 处两者相等），实际上根据（I）的结论，在 $[2, 2a]$ 上 $g(x) \le f(x)$，在之外 $f(x) < g(x)$。
所以在 $[0, 2)$ 上，$F(x) = f(x)$。
在 $[2, 6]$ 上，因为 $6 \le 2a$，所以 $[2, 6] \subseteq [2, 2a]$，故 $F(x) = g(x)$。
分段求最大值：
1. 在 $[0, 2)$ 上，$F(x) = f(x) = 2|x-1|$。
$f(x)$ 在 $[0, 1]$ 递减，在 $[1, 2)$ 递增。
$f(0) = 2$，$f(1) = 0$，$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2$。
所以此段最大值为 2。
2. 在 $[2, 6]$ 上，$F(x) = g(x) = x^2 - 2ax + 4a - 2$。
$g(x)$ 是开口向上的抛物线，对称轴 $x = a$。
因为 $a \ge 3$，对称轴在区间 $[2, 6]$ 内或右侧（若 $a>6$ 但题目限制 $x$ 到 6，而 $a$ 可以很大吗？题目只说 $a \ge 3$。若 $a > 6$，则 $2a > 12$，区间 $[2,6]$ 仍在 $[2, 2a]$ 内，逻辑成立）。
对于开口向上的二次函数，在闭区间上的最大值必在端点处取得。
端点值为 $g(2)$ 和 $g(6)$。
$g(2) = 4 - 4a + 4a - 2 = 2$。
$g(6) = 36 - 12a + 4a - 2 = 34 - 8a$。
比较 $g(2)$ 和 $g(6)$ 的大小：
$g(6) - g(2) = 34 - 8a - 2 = 32 - 8a = 8(4-a)$。
- 当 $3 \le a < 4$ 时，$4-a > 0 \Rightarrow g(6) > g(2)$。
此时 $[2, 6]$ 上的最大值为 $g(6) = 34 - 8a$。
综合两段，$M(a) = \max \{ 2, 34-8a \}$。
因为 $a < 4 \Rightarrow 8a < 32 \Rightarrow 34-8a > 2$。
所以 $M(a) = 34 - 8a$。
- 当 $a = 4$ 时，$g(6) = 34 - 32 = 2 = g(2)$。
此时 $M(a) = 2$。
- 当 $a > 4$ 时，$4-a < 0 \Rightarrow g(6) < g(2)$。
此时 $[2, 6]$ 上的最大值为 $g(2) = 2$。
综合两段，$M(a) = \max \{ 2, 2 \} = 2$。
综上所述：
$M(a) = \begin{cases} 34 - 8a, & 3 \le a < 4 \\ 2, & a \ge 4 \end{cases}$