（15 分）（2016•浙江）已知 a ≥ 3，函数 F…——2016 高考数学第 18 题答案解析

【考点】函数最值的应用；函数的最值及其几何意义．
【分析】（I）由 $\mathrm{a} \geq 3$ ，讨论 $\mathrm{x} \leq 1$ 时， $\mathrm{x}>1$ ，去掉绝对值，化简 $\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{ax}+4 \mathrm{a}-2-2|\mathrm{x}-1|$ ，判断符号，即可得到 $F(x)=x^{2}-2 a x+4 a-2$ 成立的 $x$ 的取值范围；
（II）（i）设 $f(x)=2|x-1|, g(x)=x^{2}-2 a x+4 a-2$ ，求得 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的最小值，再由新定义，可得 $F(x)$ 的最小值；
（ii）分别对当 $0 \leq x \leq 2$ 时，当 $2【解答】解：（I ）由 $\mathrm{a} \geq 3$ ，故 $\mathrm{x} \leq 1$ 时，
$x^{2}-2 a x+4 a-2-2|x-1|=x^{2}+2(a-1)(2-x)>0 ;$

当 $x>1$ 时，$x^{2}-2 a x+4 a-2-2|x-1|=x^{2}-(2+2 a) x+4 a=(x-2)(x-2 a)$ ，
则等式 $F(x)=x^{2}-2 a x+4 a-2$ 成立的 $x$ 的取值范围是（2，2a）；
（II）（i）设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2|\mathrm{x}-1|, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{ax}+4 \mathrm{a}-2$ ，
则 $\mathrm{f}(\mathrm{x}){ }_{\text {min }}=\mathrm{f}①=0, \mathrm{~g}(\mathrm{x}){ }_{\text {min }}=\mathrm{g}(\mathrm{a})=-\mathrm{a}^{2}+4 \mathrm{a}-2$ 。
由 $-a^{2}+4 a-2=0$ ，解得 $a=2+\sqrt{2}$（负的舍去），
由 $F(x)$ 的定义可得 $m(a)=\min \{f①, g(a)\}$ ，
即 $m(a)=\left\{\begin{array}{l}0,3 \leqslant a \leqslant 2+\sqrt{2} \\ -a^{2}+4 a-2, a>2+\sqrt{2}\end{array}\right.$ ；
（ii）当 $0 \leq x \leq 2$ 时，$F(x) \leq f(x) \leq \max \{f(0), f②\}=2=F②$ ；
当 $2$=\max \{2,34-8 a\}=\max \{F(2), F(6)\}$ ．
则 $M(a)=\left\{\begin{array}{l}34-8 a, \quad 3 \leqslant a \leqslant 4 \\ 2, \quad a>4\end{array}\right.$ ，
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题。