（5分）（2016•江苏）已知实数 x, y 满足 arr…——2016 高考数学第 12 题答案解析

【解答】
（5分）（2016•江苏）已知实数 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+4 \geqslant 0 \\ 2 x+y-2 \geqslant 0 \\ 3 x-y-3 \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $x^{2}+y^{2}$ 的取值范围是＿［ $\left.\frac{4}{5}, 13\right]$ 。
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可。
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
设 $z=x^{2}+y^{2}$ ，则 $z$ 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，
由图象知A到原点的距离最大，
点 O 到直线 $\mathrm{BC}: 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-2=0$ 的距离最小，

由 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+4=0 \\ 3 x-y-3=0\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ ，即 $A(2,3)$ ，此时 $z=2^{2}+3^{2}=4+9=13$ ，
点 O 到直线 $\mathrm{BC}: 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-2=0$ 的距离 $\mathrm{d}=\frac{|-2|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ ，
则 $\mathrm{z}=\mathrm{d}^{2}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2}=\frac{4}{5}$ ，
故 $z$ 的取值范围是 $\left[\frac{4}{5}, 13\right]$ ，
故答案为：$\left[\frac{4}{5}, 13\right]$ ．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．