已知 a= 31 32 , b=cos 1 4 , c=4…——2022 高考数学第 12 题答案解析

【答案】A

## 【解析】

【分析】由 $\frac{c}{b}=4 \tan \frac{1}{4}$ 结合三角函数的性质可得 $c>b$ ；构造函数 $f(x)=\cos x+\frac{1}{2} x^{2}-1, x \in(0,+\infty)$ ，利用导数可得 $b>a$ ，即可得解．

## 【详解】解法 1：构造函数

因为当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), x<\tan x$
故 $\frac{c}{b}=4 \tan \frac{1}{4}>1$ ，故 $\frac{c}{b}>1$ ，所以 $c>b$ ；
设 $f(x)=\cos x+\frac{1}{2} x^{2}-1, x \in(0,+\infty)$ ，
$f^{\prime}(x)=-\sin x+x>0$ ，所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，
故 $f\left(\frac{1}{4}\right)>f(0)=0$ ，所以 $\cos \frac{1}{4}-\frac{31}{32}>0$ ，
所以 $b>a$ ，所以 $c>b>a$ ，故选 $A$
解法 2：不等式放缩

因为当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \sin x

取 $x=\frac{1}{8}$ 得： $\cos \frac{1}{4}=1-2 \sin ^{2} \frac{1}{8}>1-2\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{31}{32}$ ，故 $b>a$
$4 \sin \frac{1}{4}+\cos \frac{1}{4}=\sqrt{17} \sin \left(\frac{1}{4}+\varphi\right)$ ，其中 $\varphi \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $\sin \varphi=\frac{1}{\sqrt{17}}, \cos \varphi=\frac{4}{\sqrt{17}}$
当 $4 \sin \frac{1}{4}+\cos \frac{1}{4}=\sqrt{17}$ 时，$\frac{1}{4}+\varphi=\frac{\pi}{2}$ ，及 $\varphi=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{4}$
此时 $\sin \frac{1}{4}=\cos \varphi=\frac{4}{\sqrt{17}}, \cos \frac{1}{4}=\sin \varphi=\frac{1}{\sqrt{17}}$

故 $\cos \frac{1}{4}=\frac{1}{\sqrt{17}}<\frac{4}{\sqrt{17}}=\sin \frac{1}{4}<4 \sin \frac{1}{4}$ ，故 $b所以 $b>a$ ，所以 $c>b>a$ ，故选 $A$
解法 3：泰勒展开
设 $x=0.25$ ，则 $a=\frac{31}{32}=1-\frac{0.25^{2}}{2}, b=\cos \frac{1}{4} \approx 1-\frac{0.25^{2}}{2}+\frac{0.25^{4}}{4!}$ ，
$c=4 \sin \frac{1}{4}=\frac{\sin \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} \approx 1-\frac{0.25^{2}}{3!}+\frac{0.25^{4}}{5!}$ ，计算得 $c>b>a$ ，故选 A．

## 解法 4：构造函数

因为 $\frac{c}{b}=4 \tan \frac{1}{4}$ ，因为当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \sin x\frac{1}{4}$ ，即 $\frac{c}{b}>1$ ，所以 $c>b$ ；设 $f(x)=\cos x+\frac{1}{2} x^{2}-1, x \in(0,+\infty), f^{\prime}(x)=-\sin x+x>0$ ，所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增，则 $f\left(\frac{1}{4}\right)>f(0)=0$ ，所以 $\cos \frac{1}{4}-\frac{31}{32}>0$ ，所以 $b>a$ ，所以 $c>b>a$ ，

故选：A．

## 解法 5：【最优解】不等式放缩

因为 $\frac{c}{b}=4 \tan \frac{1}{4}$ ，因为当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \sin x\frac{1}{4}$ ，即 $\frac{c}{b}>1$ ，所以 $c>b$ ；因为当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \sin x1-2\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{31}{32}$ ，故 $b>a$ ，所以 $c>b>a$ ．

故选：A．
【整体点评】法 4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；

法 5：利用二倍角公式以及不等式 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \sin x