2015_退役省自主命题 (2015·理)
15．已知函数 $f(x)=2^{x}, g(x)=x^{2}+a x$（其中 $a \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，设 $m=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$， $n=\frac{g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$.
现有如下命题：
①对于任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $m>0$；
②对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $n>0$；
③对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=n$；
④对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=-n$．
其中的真命题有 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）．
①④
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】①④
【解析】
设 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right), C\left(x_{1}, g\left(x_{1}\right)\right), D\left(x_{2}, g\left(x_{2}\right)\right)$．
对（1），从 $y=2^{x}$ 的图象可看出，$m=k_{A B}>0$ 恒成立，故正确．
对②，直线 CD 的斜率可为负，即 $n<0$，故不正确．
对③，由 $m=n$ 得 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)$，即 $f\left(x_{1}\right)-g\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)-g\left(x_{2}\right)$．
令 $h(x)=f(x)-g(x)=2^{x}-x^{2}-a x$，则 $h^{\prime}(x)=2^{x} \ln 2-2 x-a$．
由 $h^{\prime}(x)=0$ 得： $2^{x} \ln 2=2 x+a$，作出 $y=2^{x} \ln 2, y=2 x+a$ 的图象知，方程 $2^{x} \ln 2=2 x+a$ 不一定有解，所以 $h(x)$ 不一定有极值点，即对于任意的 $a$，不一定存在不相等的实数 $x_{1}, ~ x_{2}$，使得 $h\left(x_{1}\right)=h\left(x_{2}\right)$，即不一定存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=n$．故不正确．
对④，由 $m=-n$ 得 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=g\left(x_{2}\right)-g\left(x_{1}\right)$，即 $f\left(x_{1}\right)+g\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)+g\left(x_{2}\right)$．
令 $h(x)=f(x)+g(x)=2^{x}+x^{2}+a x$，则 $h^{\prime}(x)=2^{x} \ln 2+2 x+a$．
由 $h^{\prime}(x)=0$ 得： $2^{x} \ln 2=-2 x-a$，作出 $y=2^{x} \ln 2, y=-2 x-a$ 的图象知，方程 $2^{x} \ln 2=-2 x-a$ 必一定有解，所以 $h(x)$ 一定有极值点，即对于任意的 $a$，一定存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $h\left(x_{1}\right)=h\left(x_{2}\right)$，即一定存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=-n$．故正确．
所以（1）（4）
【考点定位】函数与不等式的综合应用．
【名师点睛】四川高考数学 15 题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会．解决本题的关键是转化思想，通过转化使问题得以解决．
三、解．答题（本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）