已知三棱锥 P － A B C 的四个顶点在球 O 的球面…——2019 高考数学第 12 题答案解析

【答案】D
【解析】
【分析】
本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的。适合空间想象能力略差学生。

设 $P A=P B=P C=2 x, E, F$ 分别为 $P A, A B$ 中点，
$\therefore E F / / P B$ ，且 $E F=\frac{1}{2} P B=x, \because \triangle A B C$ 为边长为 2 的等边三角形，
$\therefore C F=\sqrt{3}$ 又 $\angle C E F=90^{\circ} \therefore C E=\sqrt{3-x^{2}} \quad, \quad A E=\frac{1}{2} P A=x$

$\triangle A E C$ 中余弦定理 $\cos \angle E A C=\frac{x^{2}+4-\left(3-x^{2}\right)}{2 \times 2 \times x}$ ，作 $P D \perp A C$ 于 $D, \because P A=P C$
$Q D$ 为 $A C$ 中点， $\cos \angle E A C=\frac{A D}{P A}=\frac{1}{2 x}, \therefore \frac{x^{2}+4-3+x^{2}}{4 x}=\frac{1}{2 x}$ ，
$\therefore 2 x^{2}+1=2 \therefore x^{2}=\frac{1}{2} \quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore P A=P B=P C=\sqrt{2}$ ，又 $A B=B C=A C=2$ ，
$\therefore P A, P B, P C$ 两两垂直，$\therefore 2 R=\sqrt{2+2+2}=\sqrt{6}, \quad \therefore R=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，
$\therefore V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \pi \times \frac{6 \sqrt{6}}{8}=\sqrt{6} \pi$ ，故选D．
【详解】 $\because P A=P B=P C, ~ \triangle A B C$ 为边长为 2 的等边三角形，$\therefore P-A B C$ 为正三棱锥，
$\therefore P B \perp A C$ ，又 $E, F$ 分别为 $P A , A B$ 中点，
$\therefore E F / / P B, \therefore E F \perp A C$ ，又 $E F \perp C E, C E \cap A C=C, \therefore E F \perp$ 平面 $P A C$ ， $P B \perp$ 平面 $P A C, \therefore \angle P A B=90^{\circ}, \therefore P A=P B=P C=\sqrt{2}, \therefore P-A B C$ 为正方体一部分 ， $2 R=\sqrt{2+2+2}=\sqrt{6}$ ，即 $R=\frac{\sqrt{6}}{2}, \therefore V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \pi \times \frac{6 \sqrt{6}}{8}=\sqrt{6} \pi$ ，故选D．

【点睛】本题考查学生空间想象能力，补型法解决外接球问题．可通过线面垂直定理 ，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补型成正方体解决。