设 A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,…——2015 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）详见解析；②$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{9}{8}\right]$．
【解析】

试题分析：（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为 $\sin B=\sin \left(\frac{\pi}{2}+A\right)$，再结合条件从而得证；②利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将 $\sin A+\sin C$ 转化为只与 $A$ 有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解。
试题解析：（1）由 $a=b \tan A$ 及正弦定理，得 $\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}, \therefore \sin B=\cos A$，即 $\sin B=\sin \left(\frac{\pi}{2}+A\right)$，又 $B$ 为钝角，因此 $\frac{\pi}{2}+A \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，故 $B=\frac{\pi}{2}+A$，即 $B-A=\frac{\pi}{2}$；②由（1）知，$C=\pi-(A+B) \pi-\left(2 A+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-2 A>0, \therefore A \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$，于是 $\sin A+\sin C=\sin A+\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 A\right) =\sin A+\cos 2 A=-2 \sin ^{2} A+\sin A+1=-2\left(\sin A-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{9}{8}, \because 0

【考点定位】1．正弦定理；2．三角恒等变形；3．三角函数的性质．
【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小。