设 A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,…——2015 高考数学第 17 题答案解析

（1）由已知 $a=b \tan A$ 及正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，可得：
$$ \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\sin B} $$
因为 $A$ 为三角形内角，$\sin A \neq 0$，所以：
$$ \sin B = \cos A $$
利用诱导公式 $\cos A = \sin\left(\frac{\pi}{2} + A\right)$，故：
$$ \sin B = \sin\left(\frac{\pi}{2} + A\right) $$
因为 $B$ 为钝角，即 $B \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$。
又因为 $A \in (0, \pi)$，且 $\sin B > 0 \implies \cos A > 0 \implies A \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，
所以 $\frac{\pi}{2} + A \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$。
在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上，正弦函数是一一对应的（或者由 $\sin \alpha = \sin \beta$ 且 $\alpha, \beta$ 同属第二象限可得 $\alpha=\beta$），
因此 $B = \frac{\pi}{2} + A$，即：
$$ B - A = \frac{\pi}{2} $$

（2）由（1）知 $B = A + \frac{\pi}{2}$。
在 $\triangle ABC$ 中，$A+B+C=\pi$，所以：
$$ C = \pi - (A+B) = \pi - \left(A + A + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 2A $$
因为 $C > 0$，即 $\frac{\pi}{2} - 2A > 0$，解得 $A < \frac{\pi}{4}$。
又 $A > 0$，所以 $A$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$。

接下来化简 $\sin A + \sin C$：
$$ \begin{aligned} \sin A + \sin C &= \sin A + \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2A\right) \\ &= \sin A + \cos 2A \\ &= \sin A + (1 - 2\sin^2 A) \\ &= -2\sin^2 A + \sin A + 1 \end{aligned} $$
令 $t = \sin A$。因为 $A \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$，所以 $t \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。
设函数 $f(t) = -2t^2 + t + 1$，配方得：
$$ f(t) = -2\left(t - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{9}{8} $$
该二次函数开口向下，对称轴为 $t = \frac{1}{4}$。
因为 $0 < \frac{1}{4} < \frac{\sqrt{2}}{2}$（注：$\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$），所以函数在 $t=\frac{1}{4}$ 处取得最大值：
$$ f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{9}{8} $$
考察端点值：
当 $t \to 0$ 时，$f(t) \to 1$；
当 $t \to \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，
$$ f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
比较端点值与最大值，最小值的下确界由离对称轴较远的端点决定。
距离对称轴 $t=1/4=0.25$ 的距离：
$|0 - 0.25| = 0.25$
$|\frac{\sqrt{2}}{2} - 0.25| \approx |0.707 - 0.25| = 0.457$
因为右端点离对称轴更远，且开口向下，所以右端点的函数值更小。
即 $f(t)$ 的值域下限趋近于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，上限为 $\frac{9}{8}$。
注意定义域为开区间，故取不到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，但可以取到顶点处的最大值 $\frac{9}{8}$。

所以 $\sin A + \sin C$ 的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{9}{8}\right]$。