2013_省自主命题（重庆）
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如题（21）图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率 $e = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$ ，过左焦点 $F _ { 1 }$ 作x轴的垂线交椭圆于A、A'两点， $\left| A A ^ { \prime } \right| = 4$ .（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相较于不同的两点P、P'，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若 $P Q \perp P ^ { \prime } Q$ ，求圆Q的标准方程.
题(21) 图
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
解析：（I）由题意知点A(-c.2)在椭圆上，则 ${ \frac { ( - c ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { 2 ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ 从而 $e ^ { 2 } + \frac { 4 } { b ^ { 2 } } = 1$ ，由 $e = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$ 得$b ^ { 2 } = \frac { 4 } { 1 - e ^ { 2 } } = 8$ ，从而 $a ^ { 2 } = { \frac { b ^ { 2 } } { 1 - e ^ { 2 } } } = 1 6$ ，故该椭圆的标准方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 1 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 8 } = 1$
（Ⅱ）由椭圆的对称性，可设 $\mathcal { Q } ( x _ { i } , 0 )$ ，又设 $\therefore f ( x , y )$ 是椭圆任意一点，
则 $\mid M Q \mid ^ { 2 } = ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = x ^ { 2 } - 2 x x _ { 0 } + { x _ { 0 } } ^ { 2 } + y ^ { 2 } = x ^ { 2 } - 2 x x _ { 0 } + { x _ { 0 } } ^ { 2 } + 8 ( 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { 1 6 } } )$ $= \frac { 1 } { 2 } ( x - 2 x _ { 0 } ) ^ { 2 } - x _ { 0 } ^ { 2 } + 8 ( x \in [ - 4 , 4 ] )$
设 $P ( x _ { 1 } , y _ { 1 } )$ ，由题意，Ρ是椭圆上到的距离最小的点，因此，上式当 $x = x _ { 1 }$ 时取得最小值，又因 $x _ { 1 } \in ( - 4 , 4 )$ ，所以上式当 $x = 2 x _ { \odot }$ 时取得最小值，从而 $x _ { 1 } = 2 x _ { 0 } \mathbb { 1 } \ Q P \ P = 8 - x _ { 0 } ^ { 2 }$
因为 $P Q \perp P ^ { \prime } Q$ 且 $P ^ { \prime } ( x _ { 1 } , - y _ { 1 } )$ 所以 $\overrightarrow { P 2 } \cdot \overrightarrow { P ^ { \prime } Q } = ( x _ { 1 } - x _ { 0 } , y _ { 1 } ) \cdot ( x _ { 1 } - x _ { 0 } , - y _ { 1 } ) = 0$
即 $( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) ^ { 2 } - { y _ { 1 } } ^ { 2 } = 0$ 由椭圆方程及 $x _ { 1 } = 2 x _ { 0 } \underset { 4 } { \Theta } \frac { 1 } { 4 } { x _ { 1 } } ^ { 2 } - 8 ( 1 - \frac { { x _ { 1 } } ^ { 2 } } { 1 6 } ) = 0$
解得 $x _ { 1 } = \pm \frac { 4 \sqrt { 6 } } { 3 } , x _ { 0 } = \frac { x _ { 1 } } { 2 } = \pm \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 3 }$ 从而 $\mathcal { Q } \bar { P } | ^ { 2 } \substack { = 8 - x _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { 1 6 } { 3 }$
故这样的圆有两个，其标准方程分别为 $( x + \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 3 } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = \frac { 1 6 } { 3 } , ( x - \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 3 } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = \frac { 1 6 } { 3 }$