2015_退役省自主命题 (2015·文)
18、（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \sin 2 \mathrm{x}-\sqrt{3} \cos ^{2} x$ ．
（I）求 $f(x)$ 的最小周期和最小值；
（II）将函数 $f(x)$ 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 $g(x)$ 的图像．当 $\mathrm{x} \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 时，求 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的值域．
【答案】（I）$f(x)$ 的最小正周期为 $\boldsymbol{p}$ ，最小值为 $-\frac{2+\sqrt{3}}{2}$ ；（II）$\left[\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \frac{2-\sqrt{3}}{2}\right]$ ．
【解析】
试题分析：（I）首先用降幂公式将函数 $f(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x-\sqrt{3} \cos ^{2} x$ 的解析式化为 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)+B$ 的形式，从而就可求出 $f(x)$ 的最小周期和最小值；
（II）由题目所给变换及（I）的化简结果求出函数 $g(x)$ 的表达式，再由 $x \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 并结合正弦函数的图象即可求出其值域．
试题解析：①$f(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x-\sqrt{3} \cos ^{2} x=\frac{1}{2} \sin 2 x-\frac{\sqrt{3}}{2}(1+\cos 2 x)$
$$ =\frac{1}{2} \sin 2 x-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \left(2 x-\frac{p}{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}, $$
因此 $f(x)$ 的最小正周期为 $\boldsymbol{p}$ ，最小值为 $-\frac{2+\sqrt{3}}{2}$ ．
②由条件可知：$g(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
当 $x \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 时，有 $x-\frac{\pi}{3} \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ ，
从而 $\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的值域为 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ ，
那么 $\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的值域为 $\left[\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \frac{2-\sqrt{3}}{2}\right]$ ．
故 $\mathrm{g}(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 上的值域是 $\left[\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \frac{2-\sqrt{3}}{2}\right]$ ．
【考点定位】1．三角恒等变换；2．正弦函数的图象及性质；3．三角函数图象变换．
【名师点睛】本题考查三角恒等变形公式及正弦函数的图象及性质，第一问采用先降幂再用辅助角公式将已知函数化为 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)+B$ 的形式求解，第二小问在第一问的基础上应用三角函数图象变换知识首先求出函数 $g(x)$ 的解析式，再结合正弦函数的图象求其值域。本题属于中档题，注意公式的准确性及变换时的符号，