2020_新课标 II 卷 (2020)
12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量 $X$ 所有可能的取值为 $1,2, \cdots, n$ ，且 $P(X=i)=p_{i}>0(i=1,2, \cdots, n), ~ \sum_{i=1}^{n} p_{i}=1$ ，定义 $X$ 的信息熵 $H(X)=-\sum_{i=1}^{n} p_{i} \log _{2} p_{i}$ 。（ ）
A 若 $n=1$ ，则 $H(X)=0$
B．若 $n=2$ ，则 $H(X)$ 随着 $p_{1}$ 的增大而增大
C．若 $p_{i}=\frac{1}{n}(i=1,2, \cdots, n)$ ，则 $H(X)$ 随着 $n$ 的增大而增大
D．若 $n=2 m$ ，随机变量 $Y$ 所有可能的取值为 $1,2, \cdots, m$ ，且 $P(Y=j)=p_{j}+p_{2 m+1-j}(j=1,2, \cdots, m)$ ，则 $H(X) \leq H(Y)$
【答案】AC
## 【解析】
【分析】
对于 A 选项，求得 $H(X)$ ，由此判断出 A 选项的正确性；对于 B 选项，利用特殊值法进行排除；对于 C 选项 ，计算出 $H(X)$ ，利用对数函数的性质可判断出 C 选项的正确性；对于 D 选项，计算出 $H(X), H(Y)$ ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出 D 选项的正确性．
【详解】对于A选项，若 $n=1$ ，则 $i=1, p_{1}=1$ ，所以 $H(X)=-\left(1 \times \log _{2} 1\right)=0$ ，所以A选项正确．
对于 B 选项，若 $n=2$ ，则 $i=1,2, p_{2}=1-p_{1}$ ，
所以 $H(\mathrm{X})=-\left[p_{1} \cdot \log _{2} p_{1}+\left(1-p_{1}\right) \cdot \log _{2}\left(1-p_{1}\right)\right]$ ，
当 $p_{1}=\frac{1}{4}$ 时，$H(X)=-\left(\frac{1}{4} \cdot \log _{2} \frac{1}{4}+\frac{3}{4} \cdot \log _{2} \frac{3}{4}\right)$ ，
当 $\mathrm{p}_{1}=\frac{3}{4}$ 时，$H(X)=-\left(\frac{3}{4} \cdot \log _{2} \frac{3}{4}+\frac{1}{4} \cdot \log _{2} \frac{1}{4}\right)$ ，
两者相等，所以B选项错误．
对于 C 选项，若 $p_{i}=\frac{1}{n}(i=1,2, \cdots, n)$ ，则
$H(X)=-\left(\frac{1}{n} \cdot \log _{2} \frac{1}{n}\right) \times n=-\log _{2} \frac{1}{n}=\log _{2} n$,
则 $H(X)$ 随着 $n$ 的增大而增大，所以C选项正确．
对于 D 选项，若 $n=2 m$ ，随机变量 $Y$ 的所有可能的取值为 $1,2, \cdots, m$ ，且 $P(Y=j)=p_{j}+p_{2 m+1-j} j=1,2, \cdots, m)$.
$H(X)=-\sum_{i=1}^{2 m} p_{i} \cdot \log _{2} p_{i}=\sum_{i=1}^{2 m} p_{i} \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{i}}$
$=p_{1} \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{1}}+p_{2} \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{2}}+\cdots+p_{2 m-1} \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{2 m-1}}+p_{2 m} \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{2 m}}$.
$H(Y)=\left(p_{1}+p_{2 m}\right) \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{1}+p_{2 m}}+\left(p_{2}+p_{2 m-1}\right) \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{2}+p_{2 m-1}}+\cdots+\left(p_{m}+p_{m+1}\right) \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{m}+p_{m+1}}$
$=p_{1} \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{1}+p_{2 m}}+p_{2} \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{2}+p_{2 m-1}}+\cdots+p_{2 m-1} \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{2}+p_{2 m-1}}+p_{2 m} \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{1}+p_{2 m}}$ 由于
$p_{i}>0(i=1,2, \cdots, 2 m)$ ，所以 $\frac{1}{p_{i}}>\frac{1}{p_{i}+p_{2 m+1-i}}$ ，所以 $\log _{2} \frac{1}{p_{i}}>\log _{2} \frac{1}{p_{i}+p_{2 m+1-i}}$ ，
所以 $p_{i} \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{i}}>p_{i} \cdot \log _{2} \frac{1}{p_{i}+p_{2 m+1-i}}$ ，
所以 $H(X)>H(Y)$ ，所以 D 选项错误．
故选：AC
【点睛】本小题主要考查对新定义＂信息熵＂的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题．