已知函数 f(x)=|lg x|-k x-2，给出下列四个…——2021 高考数学第 15 题答案解析

【答案】①②④
【解析】

【分析】由 $f(x)=0$ 可得出 $|\lg x|=k x+2$ ，考查直线 $y=k x+2$ 与曲线 $g(x)=|\lg x|$ 的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误．
【详解】对于①，当 $k=0$ 时，由 $f(x)=|\lg x|-2=0$ ，可得 $x=\frac{1}{100}$ 或 $x=100$ ，①正确；
对于②，考查直线 $y=k x+2$ 与曲线 $y=-\lg x(0

所以，存在 $k=-\frac{100}{e} \lg e<0$ ，使得 $f(x)$ 只有一个零点，（2）正确；
对于③，当直线 $y=k x+2$ 过点 $(1,0)$ 时，$k+2=0$ ，解得 $k=-2$ ，
所以，当 $-\frac{100}{e} \lg e若函数 $f(x)$ 有三个零点，则直线 $y=k x+2$ 与曲线 $y=-\lg x(0直线 $y=k x+2$ 与曲线 $y=\lg x(x>1)$ 有一个交点，所以，$\left\{\begin{array}{l}-\frac{100}{e} \lg e0\end{array}\right.$ ，此不等式无解，
因此，不存在 $k<0$ ，使得函数 $f(x)$ 有三个零点，（3）错误；
对于④，考查直线 $y=k x+2$ 与曲线 $y=\lg x(x>1)$ 相切于点 $P(t, \lg t)$ ，
对函数 $y=\lg x$ 求导得 $y^{\prime}=\frac{1}{x \ln 10}$ ，由题意可得 $\left\{\begin{array}{l}k t+2=\lg t \\ k=\frac{1}{t \ln 10}\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}t=100 e \\ k=\frac{\lg e}{100 e}\end{array}\right.$ ，
所以，当 $0

故答案为：①②④．
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．