（13分）（2016•天津）如图，正方形 ABCD 的中心…——2016 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（13分）（2016•天津）如图，正方形 ABCD 的中心为 O ，四边形 OBEF 为矩形，平面 O $\mathrm{BEF} \perp$ 平面 ABCD ，点 G 为 AB 的中点， $\mathrm{AB}=\mathrm{BE}=2$ ．
（1）求证： $\mathrm{EG} / /$ 平面 ADF ；

（2）求二面角 $\mathrm{O}-\mathrm{EF}-\mathrm{C}$ 的正弦值；
（3）设 H 为线段 AF 上的点，且 $\mathrm{AH}=\frac{2}{3} \mathrm{HF}$ ，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值．

【分析】（1）取 AD 的中点 I ，连接 FI ，证明四边形 EFIG 是平行四边形，可得 $\mathrm{EG} / / \mathrm{FI}$ ，利用线面平行的判定定理证明： $\mathrm{EG} / /$ 平面 ADF ；
（2）建立如图所示的坐标系 $\mathrm{O}-\mathrm{xyz}$ ，求出平面 OEF 的法向量，平面 OEF 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角 $\mathrm{O}-\mathrm{EF}-\mathrm{C}$ 的正弦值；
（3）求出 $\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\left(-\frac{3 \sqrt{2}}{5}, \sqrt{2}, \frac{4}{5}\right)$ ，利用向量的夹角公式求出直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：取 AD 的中点 I ，连接 FI ，
∵ 矩形 $\mathrm{OBEF}, ~ \therefore \mathrm{EF} / / \mathrm{OB}, ~ \mathrm{EF}=\mathrm{OB}$ ，
$\because \mathrm{G}$ ， I 是中点，
$\therefore \mathrm{GI} / / \mathrm{BD}, \mathrm{GI}=\frac{1}{2} \mathrm{BD}$ ．
$\because \mathrm{O}$ 是正方形 ABCD 的中心，
$\therefore \mathrm{OB}=\frac{1}{2} \mathrm{BD}$ ．
$\therefore \mathrm{EF} / / \mathrm{GI}, \mathrm{EF}=\mathrm{GI}$ ，
∴ 四边形 EFIG 是平行四边形，
$\therefore \mathrm{EG} / / \mathrm{FI}$ ，
$\because \mathrm{EG} \not \subset$ 平面 ADF ， $\mathrm{FI} \subset$ 平面 ADF ，
$\therefore \mathrm{EG} / /$ 平面 ADF ；
（2）解：建立如图所示的坐标系 $\mathrm{O}-\mathrm{xyz}$ ，则 $\mathrm{B}(0,-\sqrt{2}, 0), \mathrm{C}(\sqrt{2}, 0,0), \mathrm{E}(0$ ，$-\sqrt{2}, 2$ ），
$\mathrm{F}(0,0,2)$ ，
设平面 CEF 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{\pi}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2} \mathrm{y}=0 \\ -\sqrt{2} \mathrm{x}+2 \mathrm{z}=0\end{array}\right.$ ，取 $\overrightarrow{\mathrm{\pi}}=(\sqrt{2}, 0,1)$
$\because \mathrm{OC} \perp$ 平面 OEF ，
∴ 平面 OEF 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(1,0,0)$ ，
$\because|\cos <\vec{\pi}, \vec{n}>|=\frac{\sqrt{6}}{3}$

∴ 二面角 $\mathrm{O}-\mathrm{EF}-\mathrm{C}$ 的正弦值为 $\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；
（3）解： $\mathrm{AH}=\frac{2}{3} \mathrm{HF}, \therefore \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\frac{2}{5} \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\left(\frac{2 \sqrt{2}}{5}, 0, \frac{4}{5}\right)$ ．
设 $H(a, b, c)$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AH}}=(a+\sqrt{2}, b, c)=\left(\frac{2 \sqrt{2}}{5}, 0, \frac{4}{5}\right)$ 。
$\therefore \mathrm{a}=-\frac{3 \sqrt{2}}{5}, \quad \mathrm{~b}=0, \quad \mathrm{c}=\frac{4}{5}$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BH}}=\left(-\frac{3 \sqrt{2}}{5}, \sqrt{2}, \frac{4}{5}\right)$ ，
∴ 直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值 $=|\cos <\overrightarrow{\mathrm{BH}}, \overrightarrow{\mathrm{n}}>|=\frac{\left|-\frac{6}{5}+\frac{4}{5}\right|}{\sqrt{3} \cdot \frac{2 \sqrt{21}}{5}}=\frac{\sqrt{7}}{21}$ ．

【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角 $\mathrm{O}-\mathrm{EF}-\mathrm{C}$ 的正弦值，直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题。