（5分）（2016•天津）已知 ABC 是边长为 1 的等…——2016 高考数学第 7 题答案解析

【解答】
（5分）（2016•天津）已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 1 的等边三角形，点 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 分别是边 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC}$的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 $\mathrm{DE}=2 \mathrm{EF}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 的值为

A．$-\frac{5}{8}$
B．$\frac{1}{8}$
C．$\frac{1}{4}$
D．$\frac{11}{8}$

【分析】运用向量的加法运算和中点的向量表示，结合向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值。
【解答】解：由 $\mathrm{DD} , E$ 分别是边 $A B , B C$ 的中点，$D E=2 E F$ ，可得

$$ \begin{aligned} & \overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}) \\ & =\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{DE}}\right) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}) \\ & =\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right) \cdot(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}) \\ & =\frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}^{2}-\frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \\ & =\frac{1}{8} . \end{aligned} $$

故选：B．

【点评】本题考查了数量积的定义和性质，注意运用向量的中点的表示，考查计算能力，属于中档题。