已知 M: x^ 2 +y^ 2 -2 x-2 y-2=0…——2020 高考数学第 11 题答案解析

【答案】D

【解析】
【分析】
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 $A, P, B, M$ 共圆，且 $A B \perp M P$ ，根

据 $|P M| \cdot|A B|=2 S_{\triangle P A M}=2|P A|$ 可知，当直线 $M P \perp l$ 时，$|P M| \cdot|A B|$ 最小，求出以 $M P$ 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线 $A B$ 的方程．

【详解】圆的方程可化为 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4$ ，点 $M$ 到直线 $l$ 的距离为 $d=\frac{|2 \times 1+1+2|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\sqrt{5}>2$ ，所以直线 $l$ 与圆相离．

依圆的知识可知，四点 $A, P, B, M$ 四点共圆，且 $A B \perp M P$ ，所以
$|P M| \cdot|A B|=2 S_{\triangle P A M}=2 \times \frac{1}{2} \times|P A| \times|A M|=2|P A|$ ，而 $|P A|=\sqrt{|M P|^{2}-4}$ ，
当直线 $M P \perp l$ 时，$|M P|_{\text {min }}=\sqrt{5},|P A|_{\text {min }}=1$ ，此时 $|P M| \cdot|A B|$ 最小．
$\therefore M P: y-1=\frac{1}{2}(x-1)$ 即 $y=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}$ ，由 $\left\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \\ 2 x+y+2=0\end{array}\right.$ 解得，$\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=0\end{array}\right.$ ．
所以以 $M P$ 为直径的圆的方程为 $(x-1)(x+1)+y(y-1)=0$ ，即 $x^{2}+y^{2}-y-1=0$ ，
两圆的方程相减可得： $2 x+y+1=0$ ，即为直线 $A B$ 的方程．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．