2015_退役省自主命题 (2015·文)
10．已知集合 $A=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, x, y \in \mathbf{Z}\right\}, B=\{(x, y)| | x|\leq 2,|y| \leq 2, x, y \in \mathbf{Z}\}$ ，定义集合 $A \oplus B=\left\{\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right) \mid\left(x_{1}, y_{1}\right) \in A,\left(x_{2}, y_{2}\right) \in B\right\}$ ，则 $A \oplus B$ 中元素的个数为
【答案】 $C$ ．
【解析】由题意知，$A=\left\{\left.(x, y)\right|^{2}+y^{2} \leq 1, x, y \in \mathbf{Z}\right\}=\{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}, B=\{(x, y)| | x|\leq 2,|y| \leq 2, x, y \in \mathbf{Z}\}$ ，所以由新定义集合 $A \oplus B$ 可知，$x_{1}= \pm 1, y_{1}=0$ 或 $x_{1}=0, y_{1}= \pm 1$ 。当 $x_{1}= \pm 1, y_{1}=0$ 时，$x_{1}+x_{2}=-3,-2,-1,0,1,2,3$ ， $y_{1}+y_{2}=-2,-1,0,1,2$ ，所以此时 $A \oplus B$ 中元素的个数有： $7 \times 5=35$ 个；当 $x_{1}=0, y_{1}= \pm 1$ 时， $x_{1}+x_{2}=-2,-1,0,1,2, y_{1}+y_{2}=-3,-2,-1,0,1,2,3$ ，这种情形下和第一种情况下除 $y_{1}+y_{2}$ 的值取 -3 或 3 外均相同，即此时有 $5 \times 2=10$ ，由分类计数原理知，$A \oplus B$ 中元素的个数为 $35+10=45$ 个，故应选 $C$ 。
【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题．
【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力．
## 第 II 卷（共 110 分）（非选择题共 110 分）