21．如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 $\mathrm{C}, \mathrm{AP} \perp \mathrm{PC}, \mathrm{P}$ 为垂足．
求证：（1）$\angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{CAB}$ ；
②$A C^{2}=A P \cdot A B$ ．
(1) ∵ 直线 PC 切半圆 O 于点 $\mathrm{C}, \therefore \angle \mathrm{ACP}=\angle \mathrm{ABC}$ ． $\because \mathrm{AB}$ 为半圆 O 的直径，$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$ ． $\because \mathrm{AP} \perp \mathrm{PC}, \quad \therefore \angle \mathrm{APC}=90^{\circ}$ ． $\therefore \angle \mathrm{PAC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{ACP}, \quad \angle \mathrm{CAB}=90^{\circ}-\angle \mathrm{ABC}$ ， $\therefore \angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{CAB}$ ．; (2) 由（1）可得：$\triangle A P C \sim \triangle A C B$ ， $\therefore \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AC}}$ ． $\therefore A C^{2}=A P \cdot A B$ ．