如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O…——2017 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
（2017•江苏）如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 $\mathrm{C}, \mathrm{AP} \perp \mathrm{PC}, \mathrm{P}$ 为垂足．

求证：（1）$\angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{CAB}$ ；
②$A C^{2}=A P \cdot A B$ ．

【分析】（1）利用弦切角定理可得：$\angle A C P=\angle A B C$ ．利用圆的性质可得 $\angle A C B=90^{\circ}$ 。再利用三角形内角和定理即可证明．
（2）由（1）可得：$\triangle A P C \sim \triangle A C B$ ，即可证明．
【解答】证明：（1）∵ 直线 PC 切半圆 O 于点 $\mathrm{C}, \therefore \angle \mathrm{ACP}=\angle \mathrm{ABC}$ ．
$\because \mathrm{AB}$ 为半圆 O 的直径，$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$ ．
$\because \mathrm{AP} \perp \mathrm{PC}, \quad \therefore \angle \mathrm{APC}=90^{\circ}$ ．
$\therefore \angle \mathrm{PAC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{ACP}, \quad \angle \mathrm{CAB}=90^{\circ}-\angle \mathrm{ABC}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{CAB}$ ．
②由（1）可得：$\triangle A P C \sim \triangle A C B$ ，
$\therefore \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AC}}$ ．
$\therefore A C^{2}=A P \cdot A B$ ．

【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．