14．在等腰梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / D C, A B=2, B C=1, \angle A B C=60^{\circ}$ 。动点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $D C$ 上，且 $\overrightarrow{B E}=\lambda \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{D F}=\frac{1}{9 \lambda} \overrightarrow{D C}$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．
参考答案$\frac{29}{18}$ 解析过程： 因为 $\overrightarrow{D F}=\frac{1}{9 \lambda} \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{D C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ ， $\overrightarrow{C F}=\overrightarrow{D F}-\overrightarrow{D C}=\frac{1}{9 \lambda} \overrightarrow{D C}-\overrightarrow{D C}=\frac{1-9 \lambda}{9 \lambda} \overrightarrow{D C}=\frac{1-9 \lambda}{18 \lambda} \overrightarrow{A B}$ ， $\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A B}+\lambda \overrightarrow{B C}$, $\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C F}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\frac{1-9 \lambda}{18 \lambda} \overrightarrow{A B}=\frac{1+9 \lambda}{18 \lambda} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}$ ， $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=(\overrightarrow{A B}+\lambda \overrightarrow{B C}) \cdot\left(\frac{1+9 \lambda}{18 \lambda} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}\right)$ $=\frac{1+9 \lambda}{18 \lambda} \overrightarrow{A B}^{2}+\lambda \overrightarrow{B C}^{2}+\left(1+\lambda \frac{1+9 \lambda}{18 \lambda}\right) \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}$ $=\frac{1+9 \lambda}{18 \lambda} \times 4+\lambda+\frac{19+9 \lambda}{18 \lambda} \times 2 \times 1 \times \cos 120^{\circ}$ $=\frac{2}{9 \lambda}+\frac{1}{2} \lambda+\frac{17}{18} \geq 2 \sqrt{\frac{2}{9 \lambda} \cdot \frac{1}{2} \lambda}+\frac{17}{18}=\frac{29}{18}$