如图，在三棱锥 P- A B C 的平面展开图中， A C…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $-\frac{1}{4}$

【解析】

【分析】
在 $\triangle A C E$ 中，利用余弦定理可求得 $C E$ ，可得出 $C F$ ，利用勾股定理计算出 $B C , B D$ ，可得出 $B F$ ，然后在 $\triangle B C F$ 中利用余弦定理可求得 $\cos \angle F C B$ 的值．

【详解】 $\because A B \perp A C, A B=\sqrt{3}, A C=1$ ，

由勾股定理得 $B C=\sqrt{A B^{2}+A C^{2}}=2$ ，
同理得 $B D=\sqrt{6}, \quad \therefore B F=B D=\sqrt{6}$ ，
在 $\triangle A C E$ 中，$A C=1, A E=A D=\sqrt{3}, \angle C A E=30^{\circ}$ ，
由余弦定理得 $C E^{2}=A C^{2}+A E^{2}-2 A C \cdot A E \cos 30^{\circ}=1+3-2 \times 1 \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=1$ ，
$\therefore C F=C E=1$ ，
在 $\triangle B C F$ 中，$B C=2, B F=\sqrt{6}, C F=1$ ，
由余弦定理得 $\cos \angle F C B=\frac{C F^{2}+B C^{2}-B F^{2}}{2 C F \cdot B C}=\frac{1+4-6}{2 \times 1 \times 2}=-\frac{1}{4}$ ．
故答案为：$-\frac{1}{4}$ ．
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题．