（本小题满分 12 分） 已知 a>0，且 a ≠ 1 函…——2009 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。

解：（ I ）由题意知 $1-a^{x}>0$
当 $01$ 时，$f(x)$ 的定义域是 $(-\infty, 0)$
$\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\frac{-\mathrm{a}^{\mathrm{x}} \ln a}{1-\mathrm{a}^{\mathrm{x}}} \operatorname{dog}_{a} e=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{a}^{\mathrm{x}}-1}$
当 $00$ ，故 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})<0$ ，所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是减函数
当 $a>1$ 时，$x \in(-\infty, 0)$ ，因为 $a^{x}-1<0, a^{x}>0$ ，故 $f^{\prime}(x)<0$ ，所以 $f(x)$ 是减函数 $\ldots$（4 分）

（II）因为 $f(n)=\log _{a}\left(1-a^{n}\right)$ ，所以 $a^{f(n)}=1-a^{n}$

由函数定义域知 $1-a^{n}>0$ ，因为 n 是正整数，故 $0<\mathrm{a}<1$ ．
所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{f(n)}}{a^{n}+a}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-a^{n}}{a^{n}+a}=\frac{1}{a}$
（III）$h(x)=e^{x}\left(x^{2}-m+1\right)(x<0)$ ，所以 $h^{\prime}(x)=e^{x}\left(x^{2}+2 x-m+1\right)$
令 $h^{\prime}(x)=0$ ，即 $x^{2}+2 x-m+1=0$ ，由题意应有 $\Delta \geq 0$ ，即 $m \geq 0$
①当 $\mathrm{m}=0$ 时，$h^{\prime}(x)=0$ 有实根 $x=-1$ ，在 $x=-1$ 点左右两侧均有 $h^{\prime}(x)>0$ 故无极值
②当 $0当 x 变化时，$h^{\prime}(x) , h(x)$ 的变化情况如下表所示：

$\therefore h(x)$ 的极大值为 $2 e^{-1-\sqrt{m}}(1+\sqrt{m}), h(x)$ 的极小值为 $2 e^{-1+\sqrt{m}}(1-\sqrt{m})$
③当 $m \geq 1$ 时，$h^{\prime}(x)=0$ 在定义域内有一个实根，$x=-1-\sqrt{m}$
同上可得 $h(x)$ 的极大值为 $2 e^{-1-\sqrt{m}}(1+\sqrt{m})$
综上所述， $\mathrm{m} \in(0,+\infty)$ 时，函数 $h(x)$ 有极值；

当 $0当 $m \geq 1$ 时，$h(x)$ 的极大值为 $2 e^{-1-\sqrt{m}}(1+\sqrt{m})$