（12分）如图，长方体 A B C D-A_ 1 B_ 1…——2015 高考数学第 19 题答案解析

【考点】 MI ：直线与平面所成的角．
【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．
【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为 10 ，再结合长方体各边的长度 ，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；
（2）分别以直线DA，DC， $\mathrm{DD}_{1}$ 为 $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，根据 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EH}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EF}}=0\end{array}\right.$ 即可求出法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}}, \overrightarrow{\mathrm{AF}}$ 坐标可以求出，可设

直线 AF 与平面 EFGH 所成角为 $\theta$ ，由 $\sin \theta=|\cos <\overrightarrow{\mathrm{n}}, \overrightarrow{\mathrm{AF}}>|$ 即可求得直线 AF 与平面 $\alpha$ 所成角的正弦值．

【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：
（2）作 $\mathrm{EM} \perp \mathrm{AB}$ ，垂足为 M ，则：
$\mathrm{EH}=\mathrm{EF}=\mathrm{BC}=10, \quad \mathrm{EM}=\mathrm{AA}_{1}=8$ ；
$\therefore M H=\sqrt{E H^{2}-E M^{2}}=6, \quad \therefore A H=10$ ；
以边 $\mathrm{DA}, \mathrm{DC}, \mathrm{DD}_{1}$ 所在直线为 $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
$A(10,0,0), H(10,10,0), E(10,4,8), F(0,4,8)$ ；
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{EF}}=(-10,0,0), \overrightarrow{\mathrm{EH}}=(0,6,-8)$ ；
设 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ 为平面EFGH的法向量，则：
$\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{E F}=-10 x=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{E H}=6 y-8 z=0\end{array}\right.$ ，取 $z=3$ ，则 $\vec{n}=(0,4,3)$ ；
若设直线 $A F$ 和平面EFGH所成的角为 $\theta$ ，则：
$\sin \theta=|\cos <\overrightarrow{\mathrm{AF}}, \overrightarrow{\mathrm{n}}>|=\frac{40}{\sqrt{180} \cdot 5}=\frac{4 \sqrt{5}}{15} ;$
∴ 直线 AF 与平面 $\alpha$ 所成角的正弦值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{15}$ ．

【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式。