记 A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,…——2023 高考数学第 17 题答案解析

【答案】①$\frac{\sqrt{3}}{5}$ ；
②$b=c=2$ ．

## 【解析】

【分析】（1）方法 1 ，利用三角形面积公式求出 $a$ ，再利用余弦定理求解作答；方法 2 ，利用三角形面积公式求出 $a$ ，作出 $B C$ 边上的高，利用直角三角形求解作答。
（2）方法1，利用余弦定理求出 $a$ ，再利用三角形面积公式求出 $\angle A D C$ 即可求解作答；方法 2 ，利用向量运算律建立关系求出 $a$ ，再利用三角形面积公式求出 $\angle A D C$ 即可求解作答．

## 【小问 1 详解】

方法 1：在 $\triangle A B C$ 中，因为 $D$ 为 $B C$ 中点，$\angle A D C=\frac{\pi}{3}, A D=1$ ，

则 $S_{\triangle A D C}=\frac{1}{2} A D \cdot D C \sin \angle A D C=\frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} a \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8} a=\frac{1}{2} S_{\triangle A B C}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，解得 $a=4$ ，
在 $\triangle A B D$ 中，$\angle A D B=\frac{2 \pi}{3}$ ，由余弦定理得 $c^{2}=B D^{2}+A D^{2}-2 B D \cdot A D \cos \angle A D B$ ，
即 $c^{2}=4+1-2 \times 2 \times 1 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=7$ ，解得 $c=\sqrt{7}$ ，则 $\cos B=\frac{7+4-1}{2 \sqrt{7} \times 2}=\frac{5 \sqrt{7}}{14}$ ，
$\sin B=\sqrt{1-\cos ^{2} B}=\sqrt{1-\left(\frac{5 \sqrt{7}}{14}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$,
所以 $\tan B=\frac{\sin B}{\cos B}=\frac{\sqrt{3}}{5}$ ．

方法 2：在 $\triangle A B C$ 中，因为 $D$ 为 $B C$ 中点，$\angle A D C=\frac{\pi}{3}, A D=1$ ，

则 $S_{\triangle A D C}=\frac{1}{2} A D \cdot D C \sin \angle A D C=\frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} a \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8} a=\frac{1}{2} S_{\triangle A B C}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，解得 $a=4$ ，
在 $\triangle A C D$ 中，由余弦定理得 $b^{2}=C D^{2}+A D^{2}-2 C D \cdot A D \cos \angle A D B$ ，
即 $b^{2}=4+1-2 \times 2 \times 1 \times \frac{1}{2}=3$ ，解得 $b=\sqrt{3}$ ，有 $A C^{2}+A D^{2}=4=C D^{2}$ ，则 $\angle C A D=\frac{\pi}{2}$ ，
$C=\frac{\pi}{6}$ ，过 A 作 $A E \perp B C$ 于 $E$ ，于是 $C E=A C \cos C=\frac{3}{2}, A E=A C \sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}, B E=\frac{5}{2}$ ，
所以 $\tan B=\frac{A E}{B E}=\frac{\sqrt{3}}{5}$ ．

## 【小问 2 详解】

方法 1：在 $\triangle A B D$ 与 $\triangle A C D$ 中，由余弦定理得 $\left\{\begin{array}{l}c^{2}=\frac{1}{4} a^{2}+1-2 \times \frac{1}{2} a \times 1 \times \cos (\pi-\angle A D C) \\ b^{2}=\frac{1}{4} a^{2}+1-2 \times \frac{1}{2} a \times 1 \times \cos \angle A D C\end{array}\right.$ ，
整理得 $\frac{1}{2} a^{2}+2=b^{2}+c^{2}$ ，而 $b^{2}+c^{2}=8$ ，则 $a=2 \sqrt{3}$ ，
又 $S_{\triangle A D C}=\frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 \times \sin \angle A D C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，解得 $\sin \angle A D C=1$ ，而 $0<\angle A D C<\pi$ ，于是 $\angle A D C=\frac{\pi}{2}$ ，
所以 $b=c=\sqrt{A D^{2}+C D^{2}}=2$ ．
方法 2：在 $\triangle A B C$ 中，因为 $D$ 为 $B C$ 中点，则 $2 \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$ ，又 $\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}$ ，
于是 $4 \overrightarrow{A D}^{2}+\overrightarrow{C B}^{2}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})^{2}+(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C})^{2}=2\left(b^{2}+c^{2}\right)=16$ ，即 $4+a^{2}=16$ ，解得 $a=2 \sqrt{3}$ ，
又 $S_{\triangle A D C}=\frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 \times \sin \angle A D C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，解得 $\sin \angle A D C=1$ ，而 $0<\angle A D C<\pi$ ，于是 $\angle A D C=\frac{\pi}{2}$ ，
所以 $b=c=\sqrt{A D^{2}+C D^{2}}=2$ ．