16．设 $V$ 是已知平面 $M$ 上所有向量的集合，对于映射 $\boldsymbol{f}: \boldsymbol{V} \rightarrow \boldsymbol{V}, \overrightarrow{\boldsymbol{a}} \in \boldsymbol{V}$ ，记 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}$ 的象为 $\boldsymbol{f}(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})$ 。 若 映 射 $\boldsymbol{f}: V \rightarrow V$ 满 足：对 所 有 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}, \overrightarrow{\boldsymbol{b}} \in V$ 及 任 意 实 数 $\lambda, \mu$ 都 有 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\lambda} \overrightarrow{\boldsymbol{a}}+\boldsymbol{\mu} \overrightarrow{\boldsymbol{b}})=\boldsymbol{\lambda} \boldsymbol{f}(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})+\boldsymbol{\mu} \boldsymbol{f}(\overrightarrow{\boldsymbol{b}})$ ，则 $f$ 称为平面 $M$ 上的线性变换。现有下列命题：
①设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，则 $\boldsymbol{f}(\overrightarrow{\mathbf{0}})=\overrightarrow{\mathbf{0}}$
②对 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}} \in \boldsymbol{V}$ 设 $\boldsymbol{f}(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})=\mathbf{2} \overrightarrow{\boldsymbol{a}}$ ，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
③若 $\overrightarrow{\boldsymbol{e}}$ 是平面 $M$ 上的单位向量，对 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}} \in \boldsymbol{V}$ 设 $\boldsymbol{f}(\overrightarrow{\boldsymbol{a}})=\overrightarrow{\boldsymbol{a}}-\overrightarrow{\boldsymbol{e}}$ ，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
④设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换， $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}, \overrightarrow{\boldsymbol{b}} \in V$ ，若 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}, \overrightarrow{\boldsymbol{b}}$ 共线，则 $f(\overrightarrow{\boldsymbol{a}}), f(\overrightarrow{\boldsymbol{b}})$ 也共线。其中真命题是 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）
【考点定位】本小题考查新定义，创新题。
设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合，对于映射 f :…——2009 高考数学第 16 题答案解析
2009_退役省自主命题 (2009·理)
完整解析 · 逐步详解
解析：令 $\vec{a}=\vec{b}=\overrightarrow{0}, \lambda=\mu=1$ ，由题有 $f(\overrightarrow{0})=2 f(\overrightarrow{0}) \Rightarrow f(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0}$ ，故①正确；
由题 $f(\lambda \vec{a}+\mu \vec{b})=2(\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}), \lambda f(\vec{a})+\mu f(\vec{b})=2 \lambda \vec{a}+2 \mu \vec{b}=2(\lambda \vec{a}+\mu \vec{b})$ ，即 $f(\lambda \vec{a}+\mu \vec{b})=\lambda f(\vec{a})+\mu f(\vec{b})$ ，故②正确；
由题 $f(\lambda \vec{a}+\mu \vec{b})=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}-\vec{e}, \lambda f(\vec{a})+\mu f(\vec{b})=\lambda \vec{a}-\vec{e}+\mu \vec{b}-\vec{e}$ ，即 $f(\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}) \neq \lambda f(\vec{a})+\mu f(\vec{b})$ ，故③不正确；
由 题 $\vec{b}=\lambda \vec{a}, f(\overrightarrow{0})=f(\vec{a}-\lambda \vec{b})=f(\vec{a})-\lambda f(\vec{b})=\overrightarrow{0} \Rightarrow f(\vec{a})=\lambda f(\vec{b})$ ，即 $f(\vec{a}), f(\vec{b})$ 也共线，故④正确；