2001年上海中考数学真题及答案

6

见解析

**第一步：计算 $\triangle ABC$ 的三边长**
设网格中小正方形的边长为 $1$。根据勾股定理，计算 $\triangle ABC$ 各边的长度：
1. $AB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
2. $BC = 2$ （直接数格子，水平距离为2）
3. $AC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$

由此可知，$\triangle ABC$ 的三边之比为 $AB:BC:AC = \sqrt{2}:2:\sqrt{10} = 1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。

**第二步：确定相似比与新三角形的边长**
题目要求画出的 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 与 $\triangle ABC$ 相似，且相似比不为 $1$。
考虑到格点作图的限制，我们尝试将相似比设为 $k=\sqrt{2}$（即面积扩大2倍，边长扩大 $\sqrt{2}$ 倍）。
此时新三角形 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 的三边长应为：
1. $A_1 B_1 = AB \times \sqrt{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$
2. $B_1 C_1 = BC \times \sqrt{2} = 2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
3. $A_1 C_1 = AC \times \sqrt{2} = \sqrt{10} \times \sqrt{2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

**第三步：在网格中构造顶点**
我们需要在 $4 \times 4$ 的网格中找到三个格点，使其两两之间的距离分别为 $2$、$2\sqrt{2}$ 和 $2\sqrt{5}$。
1. **确定 $A_1 B_1$**：长度为 $2$ 的线段可以是水平的或垂直的。不妨设 $A_1(1, 1)$，$B_1(3, 1)$，则 $A_1 B_1 = 2$。
2. **确定 $C_1$**：
* $C_1$ 到 $B_1(3, 1)$ 的距离需为 $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$。在格点中，$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$，故 $C_1$ 相对于 $B_1$ 的坐标偏移量应为 $(\pm 2, \pm 2)$。
* $C_1$ 到 $A_1(1, 1)$ 的距离需为 $2\sqrt{5} = \sqrt{20}$。在格点中，$\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$，故 $C_1$ 相对于 $A_1$ 的坐标偏移量应为 $(\pm 2, \pm 4)$ 或 $(\pm 4, \pm 2)$。

综合上述条件，若取 $C_1$ 的横坐标为 $1$（与 $A_1$ 相同，偏移量为0或4? 不对，$A_1$是$(1,1)$，若$C_1$是$(1,5)$超出网格；若$C_1$是$(1,-3)$超出网格）。

让我们重新调整位置以适应 $4 \times 4$ 网格（坐标范围 $0 \le x, y \le 4$）：
* 设 $B_1(2, 0)$，$A_1(0, 0)$，则 $A_1 B_1 = 2$。
* 寻找 $C_1(x, y)$：
* $C_1 B_1^2 = (x-2)^2 + y^2 = 8$
* $C_1 A_1^2 = x^2 + y^2 = 20$
* 联立解方程：
由第二式得 $y^2 = 20 - x^2$，代入第一式：
$(x-2)^2 + 20 - x^2 = 8$
$x^2 - 4x + 4 + 20 - x^2 = 8$
$-4x + 24 = 8 \implies 4x = 16 \implies x = 4$
$y^2 = 20 - 4^2 = 4 \implies y = 2$ （取正值，因为在网格内）
* 所以点 $C_1$ 的坐标为 $(4, 2)$。

验证点是否在网格内：
$A_1(0, 0)$，$B_1(2, 0)$，$C_1(4, 2)$ 均在 $4 \times 4$ 网格的格点上。

**结论：**
连接格点 $(0,0)$、$(2,0)$、$(4,2)$ 构成的三角形即为所求的 $\triangle A_1 B_1 C_1$。（注：答案不唯一，只要满足三边比例为 $1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$ 且顶点在格点上即可，例如也可选取边长为 $\sqrt{2}, 2, \sqrt{10}$ 的三角形旋转或平移后的位置，但需保证相似比不为1，本题构造的是放大 $\sqrt{2}$ 倍的情形）。

B、C

【答案】B、C

A、C

【答案】A、C

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原式由三部分组成，分别计算如下：

1. 第一项 $(\sqrt{2})^2$：根据平方根的定义，$(\sqrt{a})^2 = a$（$a \ge 0$），故 $(\sqrt{2})^2 = 2$。
2. 第二项 $(-\frac{1}{2})^0$：任何非零实数的 $0$ 次幂等于 $1$，故 $(-\frac{1}{2})^0 = 1$。
3. 第三项 $12^{\frac{1}{2}} \cdot (\sqrt{3}-1)^{-1}$：
* $12^{\frac{1}{2}} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$。
* $(\sqrt{3}-1)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{3}-1}$。
* 对分母进行有理化：$\frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
* 相乘得：$2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 3 + \sqrt{3}$。

将上述结果代入原式：
$ \begin{aligned} \text{原式} &= 2 + 1 - (3 + \sqrt{3}) \\ &= 3 - 3 - \sqrt{3} \\ &= -\sqrt{3} \end{aligned} $

－2

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原方程为 $\frac{x+6}{x} + \frac{x}{x+6} = \frac{10}{3}$。

**方法一：换元法**

令 $y = \frac{x+6}{x}$，则 $\frac{x}{x+6} = \frac{1}{y}$。
原方程转化为：
$ y + \frac{1}{y} = \frac{10}{3} $
方程两边同乘 $3y$（$y \neq 0$），整理得：
$ 3y^2 - 10y + 3 = 0 $
因式分解得 $(3y-1)(y-3)=0$，解得 $y_1 = \frac{1}{3}$，$y_2 = 3$。

1. 当 $y = \frac{1}{3}$ 时：
$ \frac{x+6}{x} = \frac{1}{3} \implies 3(x+6) = x \implies 3x + 18 = x \implies 2x = -18 \implies x = -9 $
2. 当 $y = 3$ 时：
$ \frac{x+6}{x} = 3 \implies x+6 = 3x \implies 2x = 6 \implies x = 3 $

经检验，$x=-9$ 和 $x=3$ 均使原方程分母不为零，且满足方程。

**方法二：去分母法**

方程两边同乘最简公分母 $3x(x+6)$，得：
$ 3(x+6)^2 + 3x^2 = 10x(x+6) $
展开并整理：
$ 3(x^2 + 12x + 36) + 3x^2 = 10x^2 + 60x $
$ 3x^2 + 36x + 108 + 3x^2 = 10x^2 + 60x $
$ 6x^2 + 36x + 108 = 10x^2 + 60x $
移项合并同类项：
$ 4x^2 + 24x - 108 = 0 $
两边同除以 4：
$ x^2 + 6x - 27 = 0 $
因式分解得 $(x+9)(x-3)=0$，解得 $x_1 = -9$，$x_2 = 3$。

经检验，$x=-9$ 和 $x=3$ 均为原方程的根。

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（1）在 $\mathrm{Rt}\triangle ACD$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$。
由 $\cos \angle ADC = \frac{CD}{AD} = \frac{3}{5}$，可设 $CD = 3k$，$AD = 5k$（$k > 0$）。
根据勾股定理，得 $AC = \sqrt{AD^2 - CD^2} = \sqrt{(5k)^2 - (3k)^2} = 4k$。

已知 $BD = 4$，则 $BC = BD + CD = 4 + 3k$。
又因为 $AD = BC$，所以 $5k = 4 + 3k$。
解得 $2k = 4$，即 $k = 2$。
所以 $CD = 3k = 3 \times 2 = 6$。

（2）由（1）可知 $k=2$，则：
$AC = 4k = 8$，
$BC = 5k = 10$。

在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，根据勾股定理求斜边 $AB$：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$。

所以 $\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}} = \frac{4\sqrt{41}}{41}$。

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第一步：求点 $A$、$B$ 的坐标。
因为点 $A(4, m)$，$B(-1, n)$ 在反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的图象上，
所以 $m = \frac{8}{4} = 2$，$n = \frac{8}{-1} = -8$。
即点 $A$ 的坐标为 $(4, 2)$，点 $B$ 的坐标为 $(-1, -8)$。

第二步：求直线 $AB$ 的解析式及点 $C$ 的坐标。
设直线 $AB$ 的解析式为 $y = kx + b$。
将 $A(4, 2)$，$B(-1, -8)$ 代入得：
$\begin{cases} 4k + b = 2 \\ -k + b = -8 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k = 2 \\ b = -6 \end{cases}$
所以直线 $AB$ 的解析式为 $y = 2x - 6$。
令 $y = 0$，则 $2x - 6 = 0$，解得 $x = 3$。
所以点 $C$ 的坐标为 $(3, 0)$。

第三步：求点 $D$ 的坐标。
因为点 $D$ 在 $y$ 轴上，设点 $D$ 的坐标为 $(0, y)$。
由 $DA = DC$，根据两点间距离公式可得 $DA^2 = DC^2$，即：
$(4 - 0)^2 + (2 - y)^2 = (3 - 0)^2 + (0 - y)^2$
$16 + (2 - y)^2 = 9 + y^2$
$16 + 4 - 4y + y^2 = 9 + y^2$
$20 - 4y = 9$
$4y = 11$
$y = \frac{11}{4}$
所以点 $D$ 的坐标为 $(0, \frac{11}{4})$。

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首先计算2000年的经营总收入。已知电脑配件收入为600万元，占总收入的40%，则2000年总收入为：
$ \frac{600}{40\%} = 1500 \text{（万元）} $

设从2000年到2002年每年经营总收入的年增长率为 $x$。根据题意，2002年的预计总收入为2160万元，且经过两年的增长，可列方程：
$ 1500(1+x)^2 = 2160 $

整理方程得：
$ (1+x)^2 = \frac{2160}{1500} = 1.44 $

开方解得：
$ 1+x = 1.2 \quad \text{或} \quad 1+x = -1.2 $

由于增长率需使收入为正数且符合实际经营情况，舍去负值解 $1+x = -1.2$，取 $1+x = 1.2$，即 $x = 0.2 = 20\%$。

2001年的预计经营总收入为2000年收入增长一年后的结果：
$ 1500(1+x) = 1500 \times 1.2 = 1800 \text{（万元）} $

故2001年预计经营总收入为1800万元。

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1，2

（－1，－3）

【答案】（－1，－3）