2015年上海中考数学真题及答案

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【解答】
解：原式 $= \frac{x^2}{(x + 2)^2} \cdot \frac{x + 2}{x} - \frac{x - 1}{x + 2}$ $= \frac{x}{x + 2} - \frac{x - 1}{x + 2}$ $= \frac{1}{x + 2}$ 当 $x = \sqrt{2} - 1$ 时，原式 $= \frac{1}{\sqrt{2} - 1 + 2} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$

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【解答】
解：由 $4x > 2x - 6$ ，得 $x > -3$

由 $\frac{x-1}{3}\leq\frac{x+1}{9}$ ，得 $x\leq2$

∴ 原不等式组的解集是 $-3 < x \leq 2$ .

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【解答】
解: (1) $\because$ 正比例函数 $y = \frac{4}{3} x$ 的图像经过点 $A$ , 点 $A$ 的纵坐标为 4,

$\therefore 4=\frac{4}{3}x$ $\therefore x=3$ $\therefore$ 点 A 的坐标是 $(3,4)$

∵反比例函数的图像经过点A,

$ \therefore 4 = \frac {m}{3}, m = 1 2 $

∴反比例函数的解析式为 $y=\frac{12}{x}$

> ② $\because AC = AB, \therefore$ 点 A 在线段 BC 的中垂线上.

∵ BC // x 轴，点 C 在 y 轴上，点 A 的坐标是 $(3,4)$ ，∴ 点 B 的横坐标为 6.

∵点 B 在反比例函数的图像上，∴点 B 的坐标是 $(6,2)$ .

设直线 $AB$ 的表达式为 $y = kx + b$ ，将点 $A$ 、 $B$ 代入表达式得：

$\left\{ \begin{array}{l}4 = 3k + b\\ 2 = 6k + b \end{array} \right.\quad \text{解得}\left\{ \begin{array}{l}k = -\frac{2}{3}\\ b = 6 \end{array} \right.$

∴直线 AB 的表达式为 $y = -\frac{2}{3}x + 6$ .

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【解答】
解：（1）联结 $AP$ . 由题意得 $AH \perp MN, AH = 15(m), AP = 39(m)$ . 在 Rt $\Delta$ APH 中，得 $PH = 36(m)$ . 答：此时汽车与点 $H$ 的距离为 36 米.

> ② 由题意可知, PQ段高架道路旁需要安装隔音板, $QC \perp AB$ ,

$ \angle Q D C = 3 0 ^ {\circ}, Q C = 3 9 (m). $

在RtΔDCQ中， $DQ = 2QC = 78(m)$

在RtΔADH中， $DH = AH\cdot \cot 30^{\circ} = 15\sqrt{3} (m)$

$ \therefore P Q = P H - D H + D Q \approx 1 1 4 - 1 5 \times 1. 7 = 8 8. 5 \approx 8 9 (m). $

答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长.

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【解答】
证明：（1）∵ OE = OB, ∠OBE = ∠OEB.
∵平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 0, ∴ OB = OD.
∴ OE = OD. ∴ ∠ODE = ∠OED.
在 $\Delta BDE$ 中，∵ $\angle OBE + \angle OEB + \angle OED + \angle ODE = 180^{\circ}$ ,
∴ $\angle OEB + \angle 0ED = \angle BED = 90^{\circ}$ ，即 $DE \perp BE$ .

> ② $\because OE \perp CD, \because \angle CDE + \angle DEO = 90^{\circ}.$ 又 $\because \angle CEO + \angle DEO = 90^{\circ}, \therefore \angle CDE = \angle CEO.$ $\because \angle OBE = \angle OEB, \therefore \angle OBE = \angle CDE.$ 在 $\Delta DBE$ 和 $\Delta CDE$ 中： $\left\{\begin{aligned}\angle OBE&=\angle CDE\\ \angle BED&=\angle DEC\end{aligned}\right.$ $\therefore \Delta DBE \sim \Delta CDE.$ $\therefore \frac{BD}{CD} = \frac{DE}{CE}.$ $\therefore BD \cdot CE = CD \cdot DE$

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【解答】
> ①由抛物线 $y = ax^{2} - 4$ 与 y 轴相交于点 B，得点 B 的坐标为 $(0, -4)$

∵ 点 A 在 x 轴的负半轴上， $AB = 2\sqrt{5}$ ，∴ 点 A 的坐标为 $(-2, 0)$

∵ 抛物线 $y = ax^{2} - 4$ 与 x 轴相交于点 A, ∴ a = 1

∴ 这条抛物线的表达式为 $y = x^{2} - 4$

> ② $\because$ 点 $P$ 在抛物线上, 它的横坐标为 $m$ , $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(m, m^2 - 4)$ 由题意, 得点 $P$ 在第一象限内, 因此 $m > 0, m^2 - 4 > 0$

过点 P 作 $PH \perp x$ 轴，垂足为 H

$ \because C O / / P H, \quad \therefore \frac {C O}{P H} = \frac {A O}{A H} $

$\therefore \frac{CO}{m^2 - 4} = \frac{2}{m + 2}$ , 解得 $CO = 2m - 4$

(3) 过点 $P$ 作 $PG \perp y$ 轴, 垂足为点 $G$

$\because OD \parallel PG, \quad \therefore \frac{OD}{PG} = \frac{BO}{BG}$

$\therefore \frac{OD}{m} = \frac{4}{m^2}$ 即 $OD = \frac{4}{m}$

在 $Rt\triangle ODC$ 中， $\because \tan \angle ODC = \frac{CO}{OD} = \frac{3}{2}$

∴ $2(2m-4)=3\cdot\frac{4}{m}$ ， 解得 m=3 或 m=-1 （舍去）。

$ \therefore C O = 2 $

在 $Rt\triangle AOC$ 中， $AC = 2\sqrt{2}$

∴ $\sin\angle OAC=\frac{CO}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，即 $\angle PAD$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$