2024年深圳中考数学真题及答案

C

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，

故选：C．

2（答案不唯一）

【答案】2（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算．利用算术平方根的性质求得$AB=CD=\sqrt[] { 10 }$，$GH=GJ=1$，再根据无理数的估算结合$GH < DE < CD$，即可求解．

【详解】解：∵$S_{ {\text{正}}{\text{方}}{\text{形}}ABCD } =10$，

∴$AB=CD=\sqrt[] { 10 }$，

∵$S_{ {\text{正}}{\text{方}}{\text{形}}GHIJ } =1$，

∴$GH=GJ=1$，

∵$3 < \sqrt[] { 10 } < 4$，即$3 < CD < 4$，

∴正方形$DEFG$的边长$GH < DE < CD$，即$1 < DE\le 3$，

∴正方形$DEFG$的边长可以是2，

故答案为：2（答案不唯一）．

$4\pi$

【答案】$4\pi$

【解析】

【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得$\angle BOE=45{}^\circ$，$\angle COF=45{}^\circ$，得到$\angle EOF=90{}^\circ$，再利用扇形的面积公式即可求解．

【详解】解：∵$BC=\sqrt[] { 2 }AB$，$AB=4$，

∴$BC=4\sqrt[] { 2 }$，

∵O为$BC$中点，

∴$OB=OC=\frac { 1 } { 2 }BC=2\sqrt[] { 2 }$，

∵$OE=4$，

在${ \rm{ R } }{ \rm{ t } }\vartriangle OBE$中，$cos\angle BOE=\frac { OB } { OE }=\frac { 2\sqrt[] { 2 } } { 4 }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }$，

∴$\angle BOE=45{}^\circ$，

同理$\angle COF=45{}^\circ$，

∴$\angle EOF=180{}^\circ -45{}^\circ -45{}^\circ =90{}^\circ$，

∴扇形$EOF$的面积为$\frac { 90\pi \cdot 4 ^ { 2 } } { 360 }=4\pi$，

故答案为：$4\pi$．

8

【答案】8

【解析】

【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点$A{\text{、}}B$作$x$轴的垂线，垂足分别为$D{\text{、}}E$，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得$A\left ( { \frac { 3 } { 2 }{\text{，}}2 } \right )$，$OA=\frac { 5 } { 2 }$，再求得点$B\left ( { 4{\text{，}}2 } \right )$，利用待定系数法求解即可．

【详解】解：过点$A{\text{、}}B$作$x$轴的垂线，垂足分别为$D{\text{、}}E$，如图，



∵$tan\angle AOC=\frac { 4 } { 3 }$，

∴$\frac { AD } { OD }=\frac { 4 } { 3 }$，

∴设$AD=4a$，则$OD=3a$，

∴点$A\left ( { 3a{\text{，}}4a } \right )$，

∵点A在反比例函数$y=\frac { 3 } { x }$上，

∴$3a\cdot 4a=3$，

∴$a=\frac { 1 } { 2 }$（负值已舍），则点$A\left ( { \frac { 3 } { 2 }{\text{，}}2 } \right )$，

∴$AD=2$，$OD=\frac { 3 } { 2 }$，

∴$OA=\sqrt[] { OD ^ { 2 } +AD ^ { 2 } }=\frac { 5 } { 2 }$，

∵四边形$AOCB$为菱形，

∴$AB=OA=\frac { 5 } { 2 }$，$AB\parallel CO$，

∴点$B\left ( { 4{\text{，}}2 } \right )$，

∵点B落在反比例函数$y=\frac { k } { x }\left ( { k\ne 0 } \right )$上，

∴$k=4\times 2=8$，

故答案为：8．

$\frac { 20 } { 21 }$

【答案】$\frac { 20 } { 21 }$

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设$AB=BC=13x$，根据$tan\angle B=\frac { 5 } { 12 }$，$AH\bot CB$，得出$AH=5x{\text{，}}BH=12x{\text{，}}$再分别用勾股定理求出$AD=\sqrt[] { 41 }x{\text{，}}AC=\sqrt[] { 26 }x$，故$cos\angle ADC=\frac { DH } { AD }=\frac { 4\sqrt[] { 41 } } { 41 }$，再运用解直角三角形得出$DM=\frac { 20\sqrt[] { 41 } } { 41 }x$，$AM=\frac { 21\sqrt[] { 41 } } { 41 }x$，代入$\frac { CE } { AC }=\frac { MD } { AM }$，化简即可作答．

【详解】解：如图，过点A作$AH\bot CB$垂足为H,



∵$\frac { BD } { DC }=\frac { 8 } { 5 }$，$AB=BC$，

设$AB=BC=13x$，

∴$BD=8x{\text{，}}DC=5x$，

∵$tan\angle B=\frac { 5 } { 12 }$，$AH\bot CB$，

∴$\frac { AH } { BH }=\frac { 5 } { 12 }$，

∵$AB=BC=13x$，

∴$AH ^ { 2 } +BH ^ { 2 } =AB ^ { 2 } =169x ^ { 2 }$，

解得$AH=5x{\text{，}}BH=12x{\text{，}}$

∴$DH=12x-8x=4x$，$HC=5x-4x=x$，

∴$AD=\sqrt[] { AH ^ { 2 } +DH ^ { 2 } }=\sqrt[] { 41 }x$，$AC=\sqrt[] { AH ^ { 2 } +CH ^ { 2 } }=\sqrt[] { 26 }x$，

∴$cos\angle ADC=\frac { DH } { AD }=\frac { 4\sqrt[] { 41 } } { 41 }$，

过点C作$CM\bot AD$垂足为M，



∴$DM=CD\cdot cos\angle ADC=\frac { 20\sqrt[] { 41 } } { 41 }x$，$AM=AD-DM=\frac { 21\sqrt[] { 41 } } { 41 }x$，

∵$DE\bot AD$,$CM\bot AD$，

∴$MC$，

∴$\frac { CE } { AC }=\frac { DM } { AM }=\frac { \frac { 20\sqrt[] { 41 } } { 41 }x } { \frac { 21\sqrt[] { 41 } } { 41 }x }=\frac { 20 } { 21 }$，

故答案为：$\frac { 20 } { 21 }$．

$4$

【答案】$4$

【解析】

【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂．先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得

【详解】解：$-2\cdot cos45{}^\circ +\left ( { \pi -3.14 } \right ) ^ { 0 } +\left | { 1-\sqrt[] { 2 } } \right |+\left ( { \frac { 1 } { 4 } } \right ) ^ { -1 }$

$=-2\times \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }+1+\sqrt[] { 2 }-1+4$

$=-\sqrt[] { 2 }+1+\sqrt[] { 2 }-1+4$

$=4$．

$\frac { 1 } { a-1 }$，$\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }$

【答案】$\frac { 1 } { a-1 }$，$\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }$

【解析】

【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键．

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．

【详解】解：$\left ( { 1-\frac { 2 } { a+1 } } \right )\div \frac { a ^ { 2 } -2a+1 } { a+1 }$

=$\left ( { \frac { a+1 } { a+1 }-\frac { 2 } { a+1 } } \right )\div \frac { \left ( { a-1 } \right ) ^ { 2 } } { a+1 }$

=$\frac { a-1 } { a+1 }\cdot \frac { a+1 } { \left ( { a-1 } \right ) ^ { 2 } }$

=$\frac { 1 } { a-1 }$，

当$a=\sqrt[] { 2 }+1$时，原式=$\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 }+1-1 }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }$．

(1) ①43.3; (2) 25; (3) 47.5 （2）小明爸爸应该预约学校A，理由见解析

【答案】（1）①43.3；②25；③47.5

（2）小明爸爸应该预约学校A，理由见解析

【解析】

【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，利用方差判断稳定性：

（1）根据平均数，中位数和众数的确定方法，进行求解即可；

（2）根据方差判断稳定性，进行判断即可．

【小问1详解】

解：①$\frac { 1 } { 10 }\left ( { 28+30+40+45+48+48+48+48+48+50 } \right )=43.3$；

②数据中出现次数最多的是25，故众数为25；

③数据排序后，排在中间两位的数据为$45,50$，故中位数为：$\frac { 1 } { 2 }\left ( { 45+50 } \right )=47.5$；

填表如下：


【小问2详解】

小明爸爸应该预约学校A，理由如下：

学校A的方差小，预约人数相对稳定，大概率会有位置更好的场地进行锻炼．

(1) 见解析; (2) $3\sqrt[] { 5 }$

【答案】（1）见解析 ②$3\sqrt[] { 5 }$

【解析】

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：

（1）连接$BO$并延长，交$AD$于点$H$，连接$OD$，易证$BO$垂直平分$AD$，圆周角定理，切线的性质，推出四边形$BHDE$为矩形，即可得证；

> ②由（1）可知$DH=BE=5$，勾股定理求出$BH$的长，设$\odot O$的半径为$r$，在${ \rm{ R } }{ \rm{ t } }\vartriangle AOH$中，利用勾股定理进行求解即可．

【小问1详解】

证明：连接$BO$并延长，交$AD$于点$H$，连接$OD$，



∵$AB=BD$，$OA=OD$，

∴$BO$垂直平分$AD$，

∴$BH\bot AD$，$AH=DH$，

∵$BE$为$\odot O$的切线，

∴$HB\bot BE$，

∵$AC$为$\odot O$的直径，

∴$\angle ADC=90{}^\circ$，

∴四边形$BHDE$为矩形，

∴$DE\bot BE$；

小问2详解】

由（1）知四边形$BHDE$为矩形，$BH\bot AD$，$AH=DH$，

∴$AH=DH=BE=5$，

∴$BH=\sqrt[] { AB ^ { 2 } -AH ^ { 2 } }=5\sqrt[] { 5 }$，

设$\odot O$的半径为$r$，则：$OA=OB=r,OH=BH-OB=5\sqrt[] { 5 }-r$，

在${ \rm{ R } }{ \rm{ t } }\vartriangle AOH$中，由勾股定理，得：$r ^ { 2 } =\left ( { 5 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 5\sqrt[] { 5 }-r } \right ) ^ { 2 }$，

解得：$r=3\sqrt[] { 5 }$；

即：$\odot O$的半径为$3\sqrt[] { 5 }$．

(1) 图见解析，$y=\frac { 1 } { 4 }x ^ { 2 }$; (2) 方案一：①$\left ( { \frac { 1 } { 2 }m,n } \right )$；②$\frac { 4n } { m ^ { 2 } }$；方案二：①$\left ( { h+\frac { 1 } { 2 }m,k+n } \right )$；②$\frac { 4n } { m ^ { 2 } }$； >; (3) a的值为$\frac { 1 } { 2 }$或$-\frac { 1 } { 2 }$．

【答案】（1）图见解析，$y=\frac { 1 } { 4 }x ^ { 2 }$；

（2）方案一：①$\left ( { \frac { 1 } { 2 }m,n } \right )$；②$\frac { 4n } { m ^ { 2 } }$；方案二：①$\left ( { h+\frac { 1 } { 2 }m,k+n } \right )$；②$\frac { 4n } { m ^ { 2 } }$；

> ③a的值为$\frac { 1 } { 2 }$或$-\frac { 1 } { 2 }$．

【解析】

【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；

（2）根据图形写出点$B'$或点B的坐标，再代入求解即可；

（3）先求得$A\left ( { -h-2{\text{，}}8+k } \right )$，$B\left ( { -h+2{\text{，}}8+k } \right )$，$C_{ 1 }$的顶点坐标为$P\left ( { -h{\text{，}}k } \right )$，再求得$C_{ 1 }$顶点距线段$AB$的距离为$\left | { \left ( { 8+k } \right )-k } \right |=8$，得到$C_{ 2 }$的顶点距线段$AB$的距离为$10-8=2$，得到$C_{ 2 }$的顶点坐标为$Q\left ( { -h{\text{，}}10+k } \right )$或$Q\left ( { -h{\text{，}}6+k } \right )$，再分类求解即可．

【小问1详解】

解：描点，连线，函数图象如图所示，



观察图象知，函数为二次函数，

设抛物线的解析式为$y=ax ^ { 2 } +bx+c$，

由题意得$\begin{cases} c=0 \\ 4a+2b+c=1 \\ 16a+4b+c=4 \end{cases}$，

解得$\begin{cases} a=\frac { 1 } { 4 } \\ b=0 \\ c=0 \end{cases}$，

∴y与x的关系式为$y=\frac { 1 } { 4 }x ^ { 2 }$；

【小问2详解】

解：方案一：①∵$AB=m$，$CD=n$，

∴$D'B'=\frac { 1 } { 2 }m$，

此时点$B'$的坐标为$\left ( { \frac { 1 } { 2 }m,n } \right )$；

故答案：$\left ( { \frac { 1 } { 2 }m,n } \right )$；

②由题意得$\left ( { \frac { 1 } { 2 }m } \right ) ^ { 2 } a=n$，

解得$a=\frac { 4n } { m ^ { 2 } }$，

故答案为：$\frac { 4n } { m ^ { 2 } }$；

方案二：①∵C点坐标为$\left ( { h,k } \right )$，$AB=m$，$CD=n$，

∴$DB=\frac { 1 } { 2 }m$，

此时点B的坐标为$\left ( { h+\frac { 1 } { 2 }m,k+n } \right )$；

故答案为：$\left ( { h+\frac { 1 } { 2 }m,k+n } \right )$；

②由题意得$k+n=a\left ( { h+\frac { 1 } { 2 }m-h } \right ) ^ { 2 } +k$，

解得$a=\frac { 4n } { m ^ { 2 } }$，

故答案为：$\frac { 4n } { m ^ { 2 } }$；

【小问3详解】

解：根据题意$C_{ 1 }$和$C_{ 2 }$的对称轴为$x=-h$，

则$A\left ( { -h-2{\text{，}}8+k } \right )$，$B\left ( { -h+2{\text{，}}8+k } \right )$，$C_{ 1 }$的顶点坐标为$P\left ( { -h{\text{，}}k } \right )$，

∴$C_{ 1 }$顶点距线段$AB$的距离为$\left | { \left ( { 8+k } \right )-k } \right |=8$，

∴$C_{ 2 }$的顶点距线段$AB$的距离为$10-8=2$，

∴$C_{ 2 }$的顶点坐标为$Q\left ( { -h{\text{，}}10+k } \right )$或$Q\left ( { -h{\text{，}}6+k } \right )$，

当$C_{ 2 }$的顶点坐标为$Q\left ( { -h{\text{，}}10+k } \right )$时，$y_{ 2 } =a\left ( { x+h } \right ) ^ { 2 } +10+k$，

将$A\left ( { -h-2{\text{，}}8+k } \right )$代入得$4a+10+k=8+k$，解得$a=-\frac { 1 } { 2 }$；

当$C_{ 2 }$的顶点坐标为$Q\left ( { -h{\text{，}}6+k } \right )$时，$y_{ 2 } =a\left ( { x+h } \right ) ^ { 2 } +6+k$，

将$A\left ( { -h-2{\text{，}}8+k } \right )$代入得$4a+6+k=8+k$，解得$a=\frac { 1 } { 2 }$；

综上，a的值为$\frac { 1 } { 2 }$或$-\frac { 1 } { 2 }$．

【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

A

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断．

【详解】解：由数轴知，$a < b < 0 < c < d$，

则最小的实数为a，

故选：A．

D

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案．

【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，

则抽到的节气在夏季的概率为$\frac { 6 } { 24 }=\frac { 1 } { 4 }$，

故选：D．

B

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了平行线的性质，根据$CD\bot AB$，$\angle 5=\angle 6$，则$\angle 1=\angle 2=50{}^\circ$，再结合平行线的性质，得出同位角相等，即可作答．

【详解】解：如图：



∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角$\angle 1=50{}^\circ$，

∴$CD\bot AB$，$\angle 5=\angle 6$，

∴$\angle 1+\angle 5=\angle 2+\angle 6=90{}^\circ$，

则$\angle 1=\angle 2=50{}^\circ$，

∵光线是平行的，

即$DE$，

∴$\angle 2=\angle 4=50{}^\circ$，

故选：B．

B

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断$AD$平分$\angle BAC$；在图③中，利用作法得$AE=AF{\text{，}}AM=AN$， 可证明$\vartriangle AFM{\text{≌}}\vartriangle AEN$，有$\angle AMD=\angle AND$，可得$ME=NF$，进一步证明$\vartriangle MDE{\text{≌}}\vartriangle NDF$，得$DM=DN$，继而可证明$\vartriangle ADM{\text{≌}}\vartriangle ADN$，得$\angle MAD=\angle NAD$，得到$AD$是$\angle BAC$的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为$BC$的中点，则$AD$为$BC$边上的中线．

【详解】在图①中，利用基本作图可判断$AD$平分$\angle BAC$；

在图③中，利用作法得$AE=AF{\text{，}}AM=AN$，



在$\vartriangle AFM$和$\vartriangle AEN$中，

$\begin{cases} AE=AF \\ \angle BAC=\angle BAC \\ AM=AN \end{cases}$，

∴$\vartriangle AFM{\text{≌}}\vartriangle AEN\left ( { { \rm{ S } }{ \rm{ A } }{ \rm{ S } } } \right )$，

∴$\angle AMD=\angle AND$，

$\because AM-AE=AN-AF$

$\therefore ME=NF$

在$\vartriangle MDE$和$\vartriangle NDF$中

$\begin{cases} \angle AMD=\angle AND \\ \angle MDE=\angle NDF \\ ME=NF \end{cases}$，

∴$\vartriangle MDE{\text{≌}}\vartriangle NDF\left ( { { \rm{ A } }{ \rm{ A } }{ \rm{ S } } } \right )$，

∴$DM=DN$，

∵$AD=AD,AM=AN$，

∴$\vartriangle ADM{\text{≌}}\vartriangle ADN\left ( { { \rm{ S } }{ \rm{ S } }{ \rm{ S } } } \right )$，

∴$\angle MAD=\angle NAD$，

∴$AD$是$\angle BAC$的平分线；

在图②中，利用基本作图得到D点为$BC$的中点，则$AD$为$BC$边上的中线．

则①③可得出射线$AD$平分$\angle BAC$．

故选：B．

$2$

【答案】$2$

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将$x=1$代入原方程，列出关于$m$的方程，然后解方程即可．

【详解】解：$\because$关于$x$的一元二次方程$x ^ { 2 } -3x+m=0$的一个根为$1$，

$\therefore x=1$满足一元二次方程$x ^ { 2 } -3x+m=0$，

$\therefore 1-3+m=0$，

解得，$m=2$．

故答案为：$2$．