已知 a _ n 为等差数列， b _ n 是公比为2的等…——2022 高考数学第 17 题答案解析

（1）设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。
由 $\{b_n\}$ 是公比为 $2$ 的等比数列，可得 $b_2=2b_1, b_3=4b_1, b_4=8b_1$。
同时 $a_2=a_1+d, a_3=a_1+2d, a_4=a_1+3d$。
根据已知条件 $a_2-b_2=a_3-b_3=b_4-a_4$，列出方程组：
$$ \begin{cases} (a_1+d) - 2b_1 = (a_1+2d) - 4b_1 \\ (a_1+d) - 2b_1 = 8b_1 - (a_1+3d) \end{cases} $$
化简第一个方程：
$a_1+d-2b_1 = a_1+2d-4b_1 \implies 2b_1 = d$。
将 $d=2b_1$ 代入第二个方程：
$(a_1+2b_1) - 2b_1 = 8b_1 - (a_1+6b_1)$
$a_1 = 2b_1 - a_1 \implies 2a_1 = 2b_1 \implies a_1 = b_1$。
故 $a_1=b_1$ 得证。

（2）由（1）可知 $d=2b_1=2a_1$。
等比数列通项公式为 $b_k = b_1 \cdot 2^{k-1} = a_1 \cdot 2^{k-1}$。
等差数列通项公式为 $a_m = a_1 + (m-1)d = a_1 + (m-1)2a_1 = (2m-1)a_1$。
代入方程 $b_k = a_m + a_1$：
$a_1 \cdot 2^{k-1} = (2m-1)a_1 + a_1$
$a_1 \cdot 2^{k-1} = 2m a_1$
由于 $a_2-b_2=a_3-b_3$，若 $a_1=0$ 则 $d=0$，数列为常数列 $0$，此时 $0-0=0-0=0-0$ 成立，但 $b_k=0$ 且 $a_m+a_1=0$，对任意 $k,m$ 成立，集合元素个数无限，与题意求具体个数不符（通常隐含非零数列），且由 $d=2b_1$ 若 $b_1=0$ 则所有项为 0。考虑一般情况 $a_1 \neq 0$，两边约去 $a_1$：
$2^{k-1} = 2m \implies m = 2^{k-2}$。
因为 $1 \leq m \leq 500$，所以：
$1 \leq 2^{k-2} \leq 500$。
解不等式：
$2^0 \leq 2^{k-2} \implies k-2 \geq 0 \implies k \geq 2$。
$2^{k-2} \leq 500$，因为 $2^8=256, 2^9=512$，所以 $k-2 \leq 8 \implies k \leq 10$。
综上，$k$ 的取值为 $2, 3, 4, \dots, 10$。
元素个数为 $10 - 2 + 1 = 9$。