全国高考数学真题及答案解析

1． $(1-3 \mathrm{i})^{2}=$

2． 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=1,|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}=$

3． 已知集合 $A=\{0,1,3,6,9\}, B=\{x \mid \sqrt{x}=x\}$ ，则 $A \cap B=$

4．双曲线 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$ 过点 $(1,0)$ 和 $\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2},3\right)$，则其渐近线方程为

5． 棱台上下底面均为有一个内角是 $60^{\circ}$ 的菱形，且上下底面边长分别为2和3，该棱台的高为 $\sqrt{3}$ ，则该棱台体积为

6． 甲、乙、丙、丁等8人分成 $A, B$ 两技术小组，要求每组4人，且甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，共有多少分配方案

7． 已知 $\alpha$ 为第二象限角，且 $3 \sin 2 \alpha \cos \alpha=8 \sin \alpha \cos 2 \alpha$ ，则 $\frac{1+\sin \alpha}{2-\cos \alpha}=$

8． 已知 $f(x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f(x)+f(x-2)=0$ ，当 $x \in\left[\frac{3}{2}, 3\right]$ 时，$f(x)=x^{2}+a x+b$ ，则

9． 已知 $\odot O: x^{2}+y^{2}=1, \odot A: x^{2}+y^{2}-6 x-8 y+k=0$ ，则

10． 等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q \neq 1, a_{1}>0,2 a_{3}=a_{2}+a_{1}$ ，记前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则

12． $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和。若 $a_{1}=-1, a_{4}=5$ ，则 $S_{6}=$ $\_\_\_\_$．

13． 若函数 $f(x)=2^{x}+2^{-x}-m$ 有两个零点，则 $m$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$．

14． 球 $O$ 的体积为 $4 \sqrt{3} \pi, A, B, C, D$ 四点均在球 $O$ 的球面上，$\triangle A B C$ 为等边三角形，$D A=D B=D C=\sqrt{2}$ ，则 $\triangle A B C$ 的面积为 $\_\_\_\_$．

15．某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天），绘制成如下的频率分布直方图：

（1） 求第一四分位数和中位数；
（2） $\hat{p}$ 为首次故障时间小于 365 天的概率估计值．
（i） 求 $\hat{p}$ ；
（ii） 工厂向某用户销售 100 件电子元件，$X$ 为这 100 件产品首次出现故障小于 365 天的件数，则 $X \sim B(100, \hat{p})$ ，求 $E(X), D(X)$ 。

16．三棱锥 $A-B C D$ 中，$E$ 在 $B D$ 上，$A E \perp C E, A E \perp D E, C D \perp A D$ ．

（1） 证明：$C D \perp A B$ ；
（2） 若 $D E=2, B E=1, A E=\sqrt{2}, C D=2 \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

17．在 $\triangle A B C$ 中，已知 $\cos B=\frac{3}{4}, \cos ^{2}(A+C)+\sin A \sin C=1$ ．

（1） 证明：$\triangle A B C$ 为钝角三角形；
（2） 若 $\triangle A B C$ 面积为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，求 $\triangle A B C$ 周长．

18．椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)$ ，过右焦点垂直于 $x$ 轴的直线被 $E$ 所截线段长为 $\sqrt{2}$ 。

（1） 求 $E$ 的离心率；
（2） $O$ 为坐标原点，给定点 $G\left(t_{0}, 0\right)\left(t_{0} \neq 0\right) ; A\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y_{0} \neq 0\right)$ 在 $E$ 上，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交于点 $B, A O$与 $G B$ 交于点 $P$ 。当 $A$ 在 $E$ 上运动时，$P$ 的轨迹为 $M$ 。
（i） 求 $M$ 的方程；
（ii） $M$ 是否有中心点？当 $t_{0}$ 为何值时，$M$ 有中心点？当 $M$ 有中心点时，平移 $M$ 到 $M^{\prime}$ ，使 $O$ 为 $M^{\prime}$ 的中心点，说明 $M^{\prime}$ 为何形状？

19．已知函数 $f(x)=x e^{x}+a x+b$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为 $y=-2 x+1$ ．

（1） 求 $a, b$ ；
（2） 当 $x>0$ 时，$f(x+m)-f(x)>m$ ，求 $m$ 的取值范围；
（3） 当 $x>0$ 时，$f(x+k)+f(k-x)>2 f(k)$ ，求 $k$ 的最小值．

1． 样本数据6，8，4，5，12的中位数为

2. 已知平面向量a,b不共线，且 $2 a + y b = x a - 3 b$ ,则

3． 已知集合 $A=\left\{\sin \left(\frac{7 \pi}{6}\right), \cos \left(\frac{5 \pi}{3}\right), \tan \left(\frac{5 \pi}{4}\right)\right\}, B=\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}, 1\right\}$ ，则 $A \cap B=$

4． 曲线 $y=5 x+8 \ln x$ 在点 $(1,5)$ 的切线方程为

5． 已知抛物线 $C_{1}: y^{2}=2 p_{1} x\left(p_{1}>0\right)$ 和 $C_{2}: x^{2}=2 p_{2} y\left(p_{2}>0\right)$ 均经过点（4，8），则 $C_{1}$ 的焦点与 $C_{2}$ 的焦点之间的距离为

6． 已知函数 $f(x)=\frac{x+2}{\mathrm{e}^{x}+a}$ 的最大值为 1 ，则 $a=$

7．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩，该塔群共有 $108$ 座塔，依山势自上而下排成 $12$ 行，将第 $i$ 行中塔的座数记为 $a_i$（$i=1,2,\cdots,12$），其中 $a_1=1$，$a_3=a_4=3$，$a_6=a_7=5$，且 $a_1,a_2,\cdots,a_{12}$ 是一个首项为 $7$，公差为 $2$ 的等差数列，将 $a_1,a_2,\cdots,a_{12}$ 分为 $6$ 组，每组 $2$ 个数，使得每组的 $2$ 个数之和可构成一个项数为 $6$ 且公差为 $d(d>0)$ 的等差数列，则 $d=$

10． 在空间中，$A , B$ 为两个定点，动点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为2，动点 $D$ 到直线 $A B$ 的距离为1，若二面角 $C- A B-D$ 为 $60^{\circ}$ ，则

11．已知圆 $C_1: (x+1)^2 + y^2 = 1$，圆 $C_2: (x-1)^2 + y^2 = 1$，圆 $C_3: x^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 1$，直线 $l: y = kx + b$ 与 $C_1, C_2, C_3$ 均有两个交点，记 $l$ 被 $C_1, C_2, C_3$ 截得的弦长分别为 $s_1, s_2, s_3$，则

12． 双曲线 $5 x^{2}-6 y^{2}=1$ 的离心率为 $\_\_\_\_$。

13． 已知 $f(x)=2 \sin (a x+\theta)(a \in Z, 0 \leqslant \theta<2 \pi)$ 是偶函数，$f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递增，则 $\theta=$

14. 设实数q满足: 存在数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ ，使得对于任意 $n \in N ^ { * }$ ，均有 $a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { 3 n } = n ^ { 2 } + n$ ，且 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中有某连续9项 $a _ { k } , a _ { k + 1 } , \cdots , a _ { k + 8 }$ 是公比为q的等比数列，则q的最大值为