某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每…——2015 高考数学第 18 题答案解析

（1）设事件 $A_1$ 为“从甲箱中摸出红球”，事件 $A_2$ 为“从乙箱中摸出红球”。
由题意知，甲箱中有4个红球、6个白球，共10个球；乙箱中有5个红球、5个白球，共10个球。
则 $P(A_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$，$P(A_2) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$。
由于从两个箱子中摸球是相互独立的，故：
获一等奖（两球均为红球）的概率为：
$P(\text{一等奖}) = P(A_1 A_2) = P(A_1)P(A_2) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$。

获二等奖（只有1个红球）包含两种互斥情况：甲红乙白，或甲白乙红。
$P(\text{二等奖}) = P(A_1 \overline{A_2}) + P(\overline{A_1} A_2)$
$= P(A_1)[1-P(A_2)] + [1-P(A_1)]P(A_2)$
$= \frac{2}{5} \times (1 - \frac{1}{2}) + (1 - \frac{2}{5}) \times \frac{1}{2}$
$= \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{5} + \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$。

顾客抽奖1次能获奖（获一等奖或二等奖）的概率为：
$P(\text{获奖}) = P(\text{一等奖}) + P(\text{二等奖}) = \frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{7}{10}$。

（2）由（1）可知，每次抽奖获一等奖的概率 $p = \frac{1}{5}$。
顾客有3次抽奖机会，且各次抽奖相互独立，故获一等奖的次数 $X$ 服从二项分布 $X \sim B(3, \frac{1}{5})$。
$X$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3$。

$P(X=0) = C_3^0 (\frac{1}{5})^0 (\frac{4}{5})^3 = 1 \times 1 \times \frac{64}{125} = \frac{64}{125}$；
$P(X=1) = C_3^1 (\frac{1}{5})^1 (\frac{4}{5})^2 = 3 \times \frac{1}{5} \times \frac{16}{25} = \frac{48}{125}$；
$P(X=2) = C_3^2 (\frac{1}{5})^2 (\frac{4}{5})^1 = 3 \times \frac{1}{25} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{125}$；
$P(X=3) = C_3^3 (\frac{1}{5})^3 (\frac{4}{5})^0 = 1 \times \frac{1}{125} \times 1 = \frac{1}{125}$。

所以 $X$ 的分布列为：
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & \frac{64}{125} & \frac{48}{125} & \frac{12}{125} & \frac{1}{125} \\ \hline \end{array} $$

$X$ 的数学期望为：
$E(X) = np = 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$。
（或者通过定义计算：$E(X) = 0 \times \frac{64}{125} + 1 \times \frac{48}{125} + 2 \times \frac{12}{125} + 3 \times \frac{1}{125} = \frac{48+24+3}{125} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5}$）