1、 已知 ${ \frac { ( 1 - i ) ^ { 2 } } { z } } = 1 + i$ （ 为虚数单位），则复数 i z =
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D
湖南高考数学真题及答案解析
湖南高考数学真题 128 道，覆盖 6 个年份、18 套试卷。在线查看题干、答案解析和考点标签，进入原卷核对题目出处，帮助学生按地区复习、老师准备讲评与专项训练。
2、在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示;
<table><tr><td></td><td colspan="13"></td></tr><tr><td>13</td><td>0</td><td>0</td><td>3 1</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>6</td><td>8</td><td>8</td><td>8</td><td>9</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>14</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>3</td><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>5</td><td>5</td><td>5</td><td>6</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td></tr><tr><td>15</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>3</td><td>3</td><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
若将运动员按成绩由好到差编为1\~35号，再用系统抽样方法从中抽取 7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )
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B
3.执行如图所示的程序框图，如果输 $\lambda n = 3$，则输出的 S =
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B
4.若变量 ， 满足约束条件x y $\left\{ { \begin{array} { l } { x + y \geq - 1 } \\ { 2 x - y \leq 1 } \\ { \quad y \leq 1 } \end{array} } \right.$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最小值为（ ）
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A
4．若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x+y \ge 1 \\ y - x \le 1 \\ x \le 1 \end{cases}$ ，则 $z = 2x - y$ 的最小值为（ ）
Answer key
A
5、执行如图 2 所示的程序框图，如果输入 $\mathrm { n } { = } 3$，中输入的 S=
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B
6、若双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ 的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )
Answer key
D
7、若实数 满足a b, ${ \frac { 1 } { a } } + { \frac { 2 } { b } } = { \sqrt { a b } }$，则 的最小值为 ab
Answer key
C
7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的
点的个数的估计值为（ ）
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C
8、设函数 $f ( x ) = \ln ( 1 + x ) - \ln ( 1 - x )$ ，则 是( )f x( )
Answer key
A
8.已知点，， 在圆A B C $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 上运动，且 $A B \perp B C$，若点 的坐标为，则 P (2,0) $\left| { \overrightarrow { P A } } + { \overrightarrow { P B } } + { \overrightarrow { P C } } \right|$ 的最大值为
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B
9.将函数 $f ( x ) = \sin 2 x$ 的图像向右平移 $\varphi ( 0 < \varphi < \frac { \pi } { 2 } )$ 个单位后得到函数 的图像，若对满足g x( )$\left| f ( x _ { 1 } ) - g ( x _ { 2 } ) \right| = 2$ 的 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$ ，有 $\left| x _ { 1 } - x _ { 2 } \right| _ { \mathrm { m i n } } = \frac { \pi } { 3 }$ ，则 （ ） <sub>j</sub> =
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D
10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率= $= \frac { \frac { 3 } { 4 } \times 1 4 - 4 \times 1 4 \times 1 5 } { 1 5 \times 1 4 - 1 4 \times 1 4 \times 1 5 }$ ）
Answer key
A
10、某工作的三视图如图 3 所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）
Answer key
A
11、已知集合 $\mathrm { U } = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$ ，A={1,3} ,B={1,3,4},则 $\mathrm { \bf A } \bigcup ( \eth _ { \ l } B ) =$
Answer key
{1，2，3}
11. $\int _ { 0 } ^ { 2 } ( x - 1 ) d x =$
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.0
12.在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 上的运动员人数是1 35 [139,151]
13|00345668889
141 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8
15|0 1 2 2 3 3 3
Answer key
.4
12、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为$\rho = 2 s i n \theta$ ，则曲线C的直角坐标方程为
Answer key
$x ^ { 2 } + ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } = 1$
13.设 是双曲线F $C : ~ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ 的一个焦点，若 上存在点，使线段C P PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 的离心率为C
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$\sqrt { 5 }$
13. 若直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 与圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = r ^ { 2 } \left( r > 0 \right)$ 相交于A,B两点，且 $\angle A O B = 1 2 0 ^ { o }$ （O 为坐标原点），则 =\_\_\_\_\_r
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14.设 $S _ { n }$ 为等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 项和，若n $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 1$ ，且 $3 S _ { 1 } , ~ 2 S _ { 2 } , ~ S _ { 3 }$ 成等差数列，则 $a _ { n } =$
Answer key
$3 ^ { n - 1 }$
14、若函数 $f ( x ) = \mid 2 ^ { x } - 2 \mid - b$ 有两个零点，则实数 的取值范围是 b
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$0 < b < 2$
15、已知 $\omega { > } 0 ,$ ,在函数 $\scriptstyle \mathbf { y } = 2 \sin \omega \mathbf { x }$ 与 $\scriptstyle \mathbf { y } = 2 \cos \omega \mathbf { x }$ 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为 $2 \sqrt { 3 }$ ，则=\_\_
Answer key
$\omega = \frac { \pi } { 2 }$
15．已知 $f(x)=\begin{cases}x^3, x\le a\\x^2, x>a\end{cases}$，若存在实数 $b$，使函数 $g(x)=f(x)-b$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是 ________．
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$(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$
16. （本小题满分 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 $A _ { 1 } , A _ { 2 }$ 和1个白球 的甲箱与装有2个红球B $a _ { 1 } , a _ { 2 }$ 和2个白球 $b _ { 1 } , b _ { 2 }$ 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖。
（I）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（II）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。
Answer key
（I） $\{ A _ { 1 } , a _ { 1 } \} , \{ A _ { 1 } , a _ { 2 } \} , \{ A _ { 1 } , b _ { 1 } \} , \{ A _ { 1 } , b _ { 2 } \} , \{ A _ { 2 } , a _ { 1 } \} , \{ A _ { 2 } , a _ { 2 } \}$ 2…
17.设 的内角，， 的对边分别为DABC A B C $a \ : , b \ : , c \ : , a = b \tan A$，且 为钝角. B
（1）证明： $B - A = \frac { \pi } { 2 }$；
（2）求 $\sin A + \sin C$ 的取值范围.
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(1) 详见解析; (2) $( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } , \frac { 9 } { 8 } ]$
17. （本小题满分12分）设 的内角 的对边分别为DABC A B C, , $a , b , c , a = b \tan A$ .
（I）证明： $\sin B = \cos A$ ；
(II) 若 $\sin C - \sin A \cos B = { \frac { 3 } { 4 } }$ ，且 为钝角，求 .B A B C, ,
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（I）略；(II) $A = 3 0 ^ { \circ } , B = 1 2 0 ^ { \circ } , C = 3 0 ^ { \circ }$
18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列和数学期望.X X【答案】① $\frac { 7 } { 1 0 }$ ；（2）详见解析.
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19.如图，已知四棱台 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 上、下底面分别是边长为3和6的正方形， $A A _ { 1 } = 6$，且$A A _ { 1 }$ 底面，点， 分别在棱^ ABCD P Q $D D _ { 1 }$，BC 上.
（1）若 P 是 $D D _ { 1 }$ 的中点，证明： $A B _ { 1 } \bot P Q$
（2）若 $P Q / / \mp$ 面 $A B B _ { 1 } A _ { 1 }$，二面角 $P - Q D - A$ 的余弦值为 $\frac { 3 } { 7 }$，求四面体 $A D P Q$ 的体积.
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(1) 详见解析; (2) 24
19. （本小题满分 13 分）设数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 项和为n $S _ { n }$ ，已知 $a _ { 1 } = 1 , a _ { 2 } = 2$ ，且 $a _ { n + 1 } = 3 S _ { n }$
$$ - S _ { n + 1 } + 3 , ( n \in N ^ { * } ) $$
（I）证明： $a _ { n + 2 } = 3 a _ { n }$ ；
（II）求 $S _ { n }$ 。
Answer key
（I）略；(II)…