（10分）数列 a _ n 满足 a _ 1 = 1 ,…——2014 高考数学第 17 题答案解析

（Ⅰ）由已知递推式 $a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n + 2$，移项变形得：
$$ a_{n+2} - a_{n+1} = a_{n+1} - a_n + 2 $$
根据定义 $b_n = a_{n+1} - a_n$，则上式可化为：
$$ b_{n+1} = b_n + 2 $$
即 $b_{n+1} - b_n = 2$。
又因为 $b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$。
所以数列 $\{b_n\}$ 是以 $1$ 为首项，$2$ 为公差的等差数列。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，$\{b_n\}$ 的通项公式为：
$$ b_n = 1 + (n-1) \times 2 = 2n - 1 $$
即 $a_{n+1} - a_n = 2n - 1$。
当 $n \ge 2$ 时，利用累加法求 $a_n$：
$$ \begin{aligned} a_n - a_1 &= (a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + \dots + (a_2 - a_1) \\ &= b_{n-1} + b_{n-2} + \dots + b_1 \\ &= [2(n-1)-1] + [2(n-2)-1] + \dots + 1 \end{aligned} $$
上述和式为前 $n-1$ 个奇数之和，或者直接利用等差数列求和公式：
$$ a_n - a_1 = \frac{(n-1)(1 + 2n - 3)}{2} = \frac{(n-1)(2n-2)}{2} = (n-1)^2 $$
因为 $a_1 = 1$，所以：
$$ a_n = (n-1)^2 + 1 = n^2 - 2n + 2 $$
当 $n=1$ 时，$a_1 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$，符合题意。
故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = n^2 - 2n + 2$。