（本小题共14分） 设函数 f(x)=x^ 3 -3 a…——2009 高考数学第 18 题答案解析

求导得 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3 a$。

（I）由题意，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处与直线 $y=8$ 相切。
这意味着在该点处的切线斜率为 0，且函数值为 8。
即满足方程组：
$$ \begin{cases} f^{\prime}(2)=0 \\ f(2)=8 \end{cases} $$
代入导数公式和原函数表达式：
$$ \begin{cases} 3 \times 2^{2}-3 a=0 \\ 2^{3}-3 a \times 2+b=8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 12-3 a=0 \\ 8-6 a+b=8 \end{cases} $$
解得 $a=4$。
将 $a=4$ 代入第二个方程：$8-24+b=8$，解得 $b=24$。
故 $a=4, b=24$。

（II）$f^{\prime}(x)=3\left(x^{2}-a\right)$。由于 $a \neq 0$，分两种情况讨论：

1. 当 $a<0$ 时：
对于任意 $x \in \mathbb{R}$，都有 $x^{2} \ge 0 > a$，即 $x^{2}-a > 0$。
所以 $f^{\prime}(x)>0$ 恒成立。
此时函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上单调递增，没有极值点。

2. 当 $a>0$ 时：
令 $f^{\prime}(x)=0$，解得 $x=\pm \sqrt{a}$。
列表分析如下：
* 当 $x \in(-\infty,-\sqrt{a})$ 时，$x^{2}>a$，则 $f^{\prime}(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增；
* 当 $x \in(-\sqrt{a}, \sqrt{a})$ 时，$x^{2}<a$，则 $f^{\prime}(x)<0$，函数 $f(x)$ 单调递减；
* 当 $x \in(\sqrt{a},+\infty)$ 时，$x^{2}>a$，则 $f^{\prime}(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增。

因此，当 $a>0$ 时：
函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,-\sqrt{a})$ 和 $(\sqrt{a},+\infty)$；
单调递减区间为 $(-\sqrt{a}, \sqrt{a})$；
$x=-\sqrt{a}$ 为极大值点，$x=\sqrt{a}$ 为极小值点。