2009年高考数学真题及答案解析

1．在复平面内，复数 $z = i(1 + 2i)$ 对应的点位于

1．设集合 $A = \{ x | - { \frac { 1 } { 2 } } < x < 2 \} , B = \{ x { \Big | } x ^ { 2 } \leq 1 \}$ ，则 $A \cup B =$ （ ） A $\{ x | - 1 \leq x < 2 \}$ B． $\{ x \mid - { \frac { 1 } { 2 } } < x \leq 1 \}$ C $\{ x \mid x < 2 \}$ D $\{ x | 1 \leq x < 2 \}$

2．已知向量 $a, b$ 不共线，$c = ka + b (k \in R), d = a - b$ 如果 $c \parallel d$，那么

2．已知向量 $a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k\in R),d=a-b$，如果 $c\parallel d$，那么

3．若 $( 1 + { \sqrt { 2 } } ) ^ { 4 } = a + b { \sqrt { 2 } } ( a , b$ 为有理数），则 $a + b =$ （ ）

3．为了得到函数 $y = \lg { \frac { x + 3 } { 1 0 } }$ 的图像，只需把函数 $y = \lg x$ 的图像上所有的点

4．若正四棱柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 的底面边长为1， $A B _ { 1 }$ 与底面ABCD成 $6 0 ^ { \circ }$ 角，则 $A _ { 1 } C _ { 1 }$ 到底面ABCD的距离为

5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为

5．“ $\alpha = \frac { \pi } { 6 } + 2 k \pi ( k \in Z ) ^ { , }$ 是 $\cos 2 \alpha = \frac { 1 } { 2 } ,$ 的

6．若 $( 1 + { \sqrt { 2 } } ) ^ { 5 } + a + b { \sqrt { 2 } } ( a , b$ 为有理数），则 $a + b =$

6．“$\alpha=\frac{\pi}{6}$”是“$\cos 2\alpha=\frac{1}{2}$”的

7．若正四棱柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 的底面边长为1， $A B _ { 1 }$ 与底面ABCD成 ${ { \bf 6 0 } ^ { \circ } }$ 角，则 $A _ { 1 } C _ { 1 }$ 到 底面 $\mathbf { A B C D }$ 的距离为 ( ) A $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ B． 1 C $\sqrt { 2 }$ D $\sqrt { 3 }$

7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为

8．设D是正 $\Delta P _ { 1 } P _ { 2 } P _ { 3 }$ 及其内部的点构成的集合，点 $P _ { 0 }$ 是 $\Delta P _ { 1 } P _ { 2 } P _ { 3 }$ 的中心，若集合$S = \{ P | P \in D , | P P _ { 0 }$ | | £ $P P _ { i } \left| , i = 1 , 2 , 3 \right\}$ ，则集合S表示的平面区域是 ( )

9．若 $\sin \theta = - \frac { 4 } { 5 } , \tan \theta > 0$ ，则 $\cos \theta =$

9．$$\lim_{x \to 1} \frac{x\sqrt{x} - x}{x - 1} = \underline{\hspace{2cm}}.$$

10．若实数 $x , y$ 满足 $\left\{ { \begin{array} { l } { x + y - 2 \geq 0 } \\ { x \leq 4 } \\ { y \leq 5 } \end{array} } \right.$ 则 $s = y - x$ 的最小值为

12．已知函数 $f(x)=\begin{cases} 3^x, & x\leq 1, \\ -x, & x>1, \end{cases}$ 若 $f(x)=2$，则 $x=$ ．

13．若函数 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x < 0 \\ \left(\dfrac{1}{3}\right)^x, & x \ge 0 \end{cases}$ 则不等式 $|f(x)| \ge \dfrac{1}{3}$ 的解集为 $\underline{\hspace{2cm}}$。

14．设A是整数集的一个非空子集，对于 $k \in { \cal A }$ ，如果 $k - 1 \not \in A$ 且 $k + 1 \not \in A$ ，那么称 $k$ 是A的一个“孤立元”，给定 $S = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , \}$ ，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.

14．已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足： $a _ { 4 n - 3 } = 1 , a _ { 4 n - 1 } = 0 , a _ { 2 n } = a _ { n } , n \in \mathrm { N } ^ { * }$ , 则 $a _ { 2 0 0 9 }$ = $a _ { 2 0 1 4 } =$

15．（本小题共13分）

在 $\Delta A B C$ 中，角A B C, , 的对边分别为 $a , b , c , B = \frac { \pi } { 3 } , \cos A = \frac { 4 } { 5 } , b = \sqrt { 3 }$

（I）求sinC的值；

（Ⅱ）求DABC的面积。

15．已知函数 $f(x) = 2\sin(\pi - x)\cos x$．
（Ⅰ）求 $f(x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．

17．（本小题共13分）

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac 1 3$ ，遇到红灯时停留的时间都是2min。

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间x的分布列及期望。

17．（本小题共13分）

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac 1 3$ ，遇到红灯时停留的时间都是2min.

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率

19．（本小题共14分）

已知双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的离心率为 $\sqrt { 3 }$ ，右准线方程为 $x = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）已知直线 $x - y + m = 0$ 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 5$ 上，求m的值

20．（本小题共13分）

已知数集 $A = \{ a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots a _ { n } \} ( 1 \leq a _ { 1 } < a _ { 2 } < \cdots a _ { n } , n \geq 2 )$ 具有性质P；对任意的

$i , j ( 1 \leq i \leq j \leq n ) , a _ { i } a _ { j }$ 与 $\frac { a _ { j } } { a _ { i } }$ 两数中至少有一个属于A。

（I）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P，并说明理由；

（Ⅱ）证明： $a _ { 1 } = 1$ ，且 $\frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n } } { a _ { 1 } ^ { - 1 } + a _ { 2 } ^ { - 1 } + \cdots + a _ { n } ^ { - 1 } } = a _ { n }$ ;

（Ⅲ）证明：当n =5时， $a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } , a _ { 5 }$ 成等比数列。

3．为了得到函数 $y=\lg \frac{x+3}{10}$ 的图像，只需把函数 $y=\lg x$ 的图像上所有的点

4．若正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为 $1, A B_{1}$ 与底面 $A B C D$ 成 $60^{\circ}$ 角，则 $A_{1} C_{1}$到底面 $A B C D$ 的距离为

5．＂$\alpha=\frac{\pi}{6}+2 k \pi(k \in Z)$＂是＂ $\cos 2 \alpha=\frac{1}{2}$＂的