（12分）设数列 a _ n 满足 a _ 1 = 0 且…——2011 高考数学第 20 题答案解析

（Ⅰ）由已知条件 $\frac{1}{1-a_{n+1}} - \frac{1}{1-a_n} = 1$，可知数列 $\left\{\frac{1}{1-a_n}\right\}$ 是以 $\frac{1}{1-a_1}$ 为首项、$1$ 为公差的等差数列。

因为 $a_1 = 0$，所以首项为 $\frac{1}{1-0} = 1$。

于是
$$\frac{1}{1-a_n} = 1 + (n-1) \times 1 = n,$$
解得
$$a_n = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}, \quad n \in \mathbb{N}^*.$$

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $a_{n+1} = \frac{n}{n+1}$，代入 $b_n$ 的表达式：
$$b_n = \frac{1 - \sqrt{a_{n+1}}}{\sqrt{n}} = \frac{1 - \sqrt{\dfrac{n}{n+1}}}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}.$$

因此
$$S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \left(\frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\right).$$

裂项相消后得
$$S_n = 1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}}.$$

因为 $n \geq 1$ 时 $\frac{1}{\sqrt{n+1}} > 0$，所以
$$S_n = 1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}} < 1.$$

证毕。