（12分）如图，直棱柱 A B C - A _ 1 B _…——2013 高考数学第 18 题答案解析

（Ⅰ）证明：
连接 $AC_1$ 交 $A_1C$ 于点 $F$。
因为侧面 $ACC_1A_1$ 为矩形，所以 $F$ 为 $AC_1$ 的中点。
又因为 $D$ 是 $AB$ 的中点，所以在 $\triangle ABC_1$ 中，$DF$ 为中位线，故 $BC_1 \parallel DF$。
因为 $DF \subset$ 平面 $A_1CD$，且 $BC_1 \not\subset$ 平面 $A_1CD$，
所以 $BC_1 \parallel$ 平面 $A_1CD$。

（Ⅱ）解：
由已知 $AC=CB=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$，可得 $AC^2+CB^2=AB^2$，即 $\angle ACB=90^\circ$，$\triangle ABC$ 为等腰直角三角形。
因为 $D$ 为 $AB$ 中点，所以 $CD \perp AB$。
又因为直棱柱中侧棱 $AA_1 \perp$ 底面 $ABC$，所以 $AA_1 \perp CD$。
因为 $AB \cap AA_1 = A$，所以 $CD \perp$ 平面 $ABB_1A_1$。

以 $D$ 为原点，分别以 $DB, DC$ 所在直线及过 $D$ 平行于 $AA_1$ 的直线为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系。
设 $AB=2\sqrt{2}$，则 $AC=CB=AA_1=2$。
由此可得各点坐标：
$D(0,0,0)$，
$A(-\sqrt{2}, 0, 0)$，$B(\sqrt{2}, 0, 0)$，$C(0, \sqrt{2}, 0)$，
$A_1(-\sqrt{2}, 0, 2)$，$E(\sqrt{2}, 0, 1)$（$E$ 为 $BB_1$ 中点）。

计算相关向量：
$\overrightarrow{DA_1} = (-\sqrt{2}, 0, 2)$，$\overrightarrow{DC} = (0, \sqrt{2}, 0)$，$\overrightarrow{DE} = (\sqrt{2}, 0, 1)$。

设平面 $A_1CD$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则：
$\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{DA_1} = -\sqrt{2}x + 2z = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{DC} = \sqrt{2}y = 0 \end{cases}$
取 $x=\sqrt{2}$，得 $z=1, y=0$，故 $\vec{n}=(\sqrt{2}, 0, 1)$。

设平面 $A_1CE$ 的法向量为 $\vec{m}=(a,b,c)$，
$\overrightarrow{CA_1} = (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 2)$，$\overrightarrow{CE} = (\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 1)$。
则：
$\begin{cases} \vec{m} \cdot \overrightarrow{CA_1} = -\sqrt{2}a - \sqrt{2}b + 2c = 0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{CE} = \sqrt{2}a - \sqrt{2}b + c = 0 \end{cases}$
两式相加得 $-2\sqrt{2}b + 3c = 0 \Rightarrow b = \frac{3}{2\sqrt{2}}c$。
代入第二式得 $\sqrt{2}a = \sqrt{2}(\frac{3}{2\sqrt{2}}c) - c = \frac{3}{2}c - c = \frac{1}{2}c \Rightarrow a = \frac{1}{2\sqrt{2}}c$。
令 $c=2\sqrt{2}$，则 $a=1, b=3$，故 $\vec{m}=(1, 3, 2\sqrt{2})$。

设二面角 $D-A_1C-E$ 的大小为 $\theta$，则
$\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{m}|}{|\vec{n}| |\vec{m}|} = \frac{|1\times\sqrt{2} + 3\times0 + 2\sqrt{2}\times1|}{\sqrt{2+0+1} \cdot \sqrt{1+9+8}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{18}} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

所以 $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。