（14分）（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所…——2017 高考数学第 16 题答案解析

由正弦定理，设 $a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$。代入 $b+c=2a\cos B$，得
\[ \sin B+\sin C=2\sin A\cos B. \]
又 $C=\pi-A-B$，所以 $\sin C=\sin(A+B)$。于是
\[ \sin B+\sin A\cos B+\cos A\sin B=2\sin A\cos B, \]
整理得
\[ \sin B=\sin A\cos B-\cos A\sin B=\sin(A-B). \]
因为 $0<B<\pi$，且 $-\pi<A-B<\pi$，而 $\sin B>0$，故 $0<A-B<\pi$。由 $\sin(A-B)=\sin B$，得 $A-B=B$ 或 $A-B=\pi-B$。后者给出 $A=\pi$，不符合三角形内角，故
\[ A=2B. \]

由面积条件 $S=\frac12bc\sin A=\frac{a^2}{4}$，代入正弦定理得
\[ \frac12(2R)^2\sin B\sin C\sin A=\frac{(2R)^2\sin^2A}{4}, \]
即
\[ 2\sin B\sin C=\sin A. \]
由 $A=2B$，有
\[ 2\sin B\sin C=\sin2B=2\sin B\cos B. \]
因 $\sin B>0$，故 $\sin C=\cos B=\sin\left(\frac\pi2-B\right)$。又 $A=2B$ 且 $A+B+C=\pi$，可知 $B<\frac\pi3$，从而 $0<\frac\pi2-B<\pi$。由于 $0<C<\pi$，
\[ C=\frac\pi2-B \quad\text{或}\quad C=\frac\pi2+B. \]
若 $C=\frac\pi2-B$，则 $B+C=\frac\pi2$，所以 $A=\pi-(B+C)=\frac\pi2$。

若 $C=\frac\pi2+B$，结合 $A=2B$ 及 $A+B+C=\pi$，得
\[ 2B+B+\frac\pi2+B=\pi, \]
解得 $B=\frac\pi8$，故 $A=2B=\frac\pi4$。

因此 $A=90^\circ$ 或 $A=45^\circ$。