（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= k x+1…——2008 高考数学第 21 题答案解析

（I）对 $f(x)=\dfrac{kx+1}{x^2+c}$ 求导，得
$f'(x)=\dfrac{k(x^2+c)-2x(kx+1)}{(x^2+c)^2}=\dfrac{-kx^2-2x+ck}{(x^2+c)^2}$。
因为 $c>0$，所以 $x^2+c>0$，极值点只能是分子为零的点。

已知 $x=-c$ 是极值点，代入分子：
$-kc^2+2c+ck=0$。
由于 $c>0$，化简得
$k(c-1)=2$。
又 $c\ne1$，故 $k\ne0$。

由 $k(c-1)=2$，有 $2=k(c-1)$，于是
$-kx^2-2x+ck=-kx^2-k(c-1)x+ck=-k(x+c)(x-1)$。
因此 $f'(x)=0$ 的两个根为 $x=-c$ 和 $x=1$，另一个极值点为 $x=1$。

（II）由 $k(c-1)=2$ 得
$c=1+\dfrac2k$。
结合 $c>0$ 且 $c\ne1$，可得 $k>0$ 或 $k<-2$。

先计算两个极值点处的函数值。
$f(1)=\dfrac{k+1}{1+c}=\dfrac{k+1}{2+2/k}=\dfrac{k}{2}$。

又
$f(-c)=\dfrac{-kc+1}{c^2+c}$。
由 $k=\dfrac2{c-1}$，得
$1-kc=1-\dfrac{2c}{c-1}=-\dfrac{c+1}{c-1}$，
所以
$f(-c)=\dfrac{-\frac{c+1}{c-1}}{c(c+1)}=-\dfrac1{c(c-1)}$。
再用 $c=1+\dfrac2k=\dfrac{k+2}{k}$，$c-1=\dfrac2k$，得
$f(-c)=-\dfrac{k^2}{2(k+2)}$。

因为 $-c<1$，且
$f'(x)=\dfrac{-k(x+c)(x-1)}{(x^2+c)^2}$，
所以：

当 $k>0$ 时，$f'(x)$ 在 $(-\infty,-c)$ 为负，在 $(-c,1)$ 为正，在 $(1,+\infty)$ 为负。
故 $x=-c$ 是极小值点，$x=1$ 是极大值点，
$M=f(1)=\dfrac{k}{2}$，$m=f(-c)=-\dfrac{k^2}{2(k+2)}$。
此时
$M-m=\dfrac{k}{2}+\dfrac{k^2}{2(k+2)}=\dfrac{k(k+1)}{k+2}$。
由 $M-m\geqslant1$，得
$\dfrac{k(k+1)}{k+2}\geqslant1$，
即
$\dfrac{k^2-2}{k+2}\geqslant0$。
又 $k>0$，故 $k\geqslant\sqrt2$。

当 $k<-2$ 时，$f'(x)$ 的符号与上相反，$x=-c$ 是极大值点，$x=1$ 是极小值点，
$M=f(-c)=-\dfrac{k^2}{2(k+2)}$，$m=f(1)=\dfrac{k}{2}$。
此时
$M-m=-\dfrac{k^2}{2(k+2)}-\dfrac{k}{2}=-\dfrac{k(k+1)}{k+2}$。
进一步
$M-m-1=-\dfrac{k^2+2k+2}{k+2}=-\dfrac{(k+1)^2+1}{k+2}$。
因为 $k<-2$，所以 $k+2<0$，而 $(k+1)^2+1>0$，故 $M-m-1>0$，即 $M-m\geqslant1$ 恒成立。

综上，$M-m\geqslant1$ 时，$k$ 的取值范围为
$(-\infty,-2)\cup[\sqrt2,+\infty)$。