记 S _ n 为数列 a _ n 的前n项和．已知 2…——2022 高考数学第 17 题答案解析

（1）由已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$，整理得：
$$2 S_{n}+n^{2}=2 n a_{n}+n \quad \cdots ①$$
当 $n \geqslant 2$ 时，有：
$$2 S_{n-1}+(n-1)^{2}=2(n-1) a_{n-1}+(n-1) \quad \cdots ②$$
① - ② 得：
$$2\left(S_{n}-S_{n-1}\right)+n^{2}-(n-1)^{2}=2 n a_{n}-2(n-1) a_{n-1}+n-(n-1)$$
因为 $S_{n}-S_{n-1}=a_{n}$，代入上式化简：
$$2 a_{n}+2 n-1=2 n a_{n}-2(n-1) a_{n-1}+1$$
移项整理得：
$$2(n-1) a_{n}-2(n-1) a_{n-1}=2(n-1)$$
因为 $n \geqslant 2$，所以 $n-1 \neq 0$，两边同除以 $2(n-1)$ 得：
$$a_{n}-a_{n-1}=1$$
故数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差 $d=1$ 的等差数列。

（2）由（1）知 $d=1$，则 $a_{n}=a_{1}+(n-1)$。
因为 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列，所以 $a_{7}^{2}=a_{4} a_{9}$。
代入通项公式：
$$(a_{1}+6)^{2}=(a_{1}+3)(a_{1}+8)$$
展开得：
$$a_{1}^{2}+12 a_{1}+36=a_{1}^{2}+11 a_{1}+24$$
解得 $a_{1}=-12$。
所以 $a_{n}=n-13$。
前 $n$ 项和 $S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d = -12 n+\frac{n^{2}-n}{2}=\frac{1}{2} n^{2}-\frac{25}{2} n$。
这是一个关于 $n$ 的二次函数，对称轴为 $n=\frac{25}{2}=12.5$。
因为 $n \in \mathbf{N}^{*}$，且二次函数开口向上，所以当 $n$ 取离对称轴最近的整数，即 $n=12$ 或 $n=13$ 时，$S_{n}$ 取得最小值。
$$S_{12}=\frac{1}{2} \times 12^{2}-\frac{25}{2} \times 12 = 72-150=-78$$
（或计算 $S_{13}=\frac{1}{2} \times 13^{2}-\frac{25}{2} \times 13 = \frac{169-325}{2}=-78$）
故 $S_{n}$ 的最小值为 $-78$。