在直角坐标系 x O y 中，点 P 到 x 轴的距离等于…——2023 高考数学第 22 题答案解析

**（1）**

设 $P(x,y)$，由题意点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到 $\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ 的距离，即

$$|y|=\sqrt{x^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}.$$

两边平方得 $y^{2}=x^{2}+y^{2}-y+\dfrac{1}{4}$，化简得

$$y=x^{2}+\frac{1}{4}.$$

故轨迹 $W$ 的方程为 $y=x^{2}+\dfrac{1}{4}$。

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**（2）**

不妨设矩形 $ABCD$ 的三个顶点 $A,B,D$ 在 $W$ 上，且 $\angle BAD=90^{\circ}$。

设 $A\left(a,a^{2}+\dfrac{1}{4}\right)$。由于抛物线 $W$ 是严格凸曲线，其上任意三点不能构成直角三角形的斜边两端与直角顶点使得某条边水平或竖直（否则另一条边需为竖直线或水平线，而竖直线与抛物线只有一个交点），因此直线 $AB$ 和 $AD$ 的斜率均存在且不为零。

设直线 $AB$ 的斜率为 $k$（$k\neq 0$），则 $AD$ 的斜率为 $-\dfrac{1}{k}$。由对称性，不妨设 $|k|\leq 1$。

**求 $|AB|$：** 将 $y=k(x-a)+a^{2}+\dfrac{1}{4}$ 与 $y=x^{2}+\dfrac{1}{4}$ 联立，消去 $y$ 得

$$x^{2}-kx+ka-a^{2}=0.$$

此方程的一个根为 $x=a$，由韦达定理另一个根为 $x_{B}=k-a$（注意 $k\neq 2a$，否则 $B=A$）。于是

$$|AB|=\sqrt{1+k^{2}}\,|x_{B}-a|=\sqrt{1+k^{2}}\,|k-2a|.$$

**求 $|AD|$：** 类似地，将斜率换为 $-\dfrac{1}{k}$，可得

$$|AD|=\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}}\left|-\frac{1}{k}-2a\right|=\frac{\sqrt{1+k^{2}}}{|k|}\left|\frac{1}{k}+2a\right|.$$

**估计半周长下界：** 矩形周长 $C=2(|AB|+|AD|)$，因此

$$\frac{C}{2}=|AB|+|AD|=\sqrt{1+k^{2}}\left(|k-2a|+\frac{1}{|k|}\left|\frac{1}{k}+2a\right|\right).$$

因为 $|k|\leq 1$，所以 $\dfrac{1}{|k|}\geq 1$，从而

$$\frac{C}{2}\geq \sqrt{1+k^{2}}\left(|k-2a|+\left|\frac{1}{k}+2a\right|\right).$$

由三角不等式 $|u|+|v|\geq |u+v|$，取 $u=k-2a$，$v=\dfrac{1}{k}+2a$，得

$$|k-2a|+\left|\frac{1}{k}+2a\right|\geq\left|k+\frac{1}{k}\right|.$$

因此

$$\frac{C}{2}\geq \sqrt{1+k^{2}}\left|k+\frac{1}{k}\right|=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\frac{k^{2}+1}{|k|}=\frac{(1+k^{2})^{3/2}}{|k|}.$$

**求函数最小值：** 令 $m=k^{2}\in(0,1]$，考察

$$f(m)=\frac{(1+m)^{3}}{m}.$$

求导：

$$f'(m)=\frac{3(1+m)^{2}\cdot m-(1+m)^{3}}{m^{2}}=\frac{(1+m)^{2}(2m-1)}{m^{2}}.$$

令 $f'(m)=0$，解得 $m=\dfrac{1}{2}$。当 $m\in\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$ 时 $f'(m)<0$，$f(m)$ 递减；当 $m\in\left(\dfrac{1}{2},1\right]$ 时 $f'(m)>0$，$f(m)$ 递增。故

$$f(m)_{\min}=f\!\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{27}{4}.$$

从而

$$\frac{C}{2}\geq\sqrt{f(m)}\geq\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2},$$

即 $C\geq 3\sqrt{3}$。

**排除等号成立的可能：** 上述推导中用了两次放缩：

1. $\dfrac{1}{|k|}\geq 1$ 处取等要求 $|k|=1$；
2. 三角不等式处取等要求 $(k-2a)$ 与 $\left(\dfrac{1}{k}+2a\right)$ 同号，且最终 $f(m)$ 取最小值要求 $m=\dfrac{1}{2}$，即 $|k|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

条件 $|k|=1$ 与 $|k|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 矛盾，因此两处放缩不能同时取等，即

$$C>3\sqrt{3}.$$

证毕。