( 2 x - 1 2 x ) ^ 6 的展开式的常数项是…——2009 高考数学第 13 题答案解析

二项式 $\left( 2 x - \frac { 1 } { 2 x } \right) ^ { 6 }$ 的展开式的通项公式为：
$$ T _ { r + 1 } = C _ { 6 } ^ { r } ( 2 x ) ^ { 6 - r } \left( - \frac { 1 } { 2 x } \right) ^ { r } $$
整理系数与变量部分：
$$ T _ { r + 1 } = C _ { 6 } ^ { r } \cdot 2 ^ { 6 - r } \cdot x ^ { 6 - r } \cdot ( - 1 ) ^ { r } \cdot \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { r } \cdot x ^ { - r } $$
$$ T _ { r + 1 } = ( - 1 ) ^ { r } C _ { 6 } ^ { r } 2 ^ { 6 - r } \cdot 2 ^ { - r } x ^ { 6 - 2 r } $$
$$ T _ { r + 1 } = ( - 1 ) ^ { r } C _ { 6 } ^ { r } 2 ^ { 6 - 2 r } x ^ { 6 - 2 r } $$
要求常数项，即 $x$ 的指数为 $0$，令：
$$ 6 - 2 r = 0 $$
解得 $r = 3$。
将 $r = 3$ 代入通项公式计算常数项：
$$ T _ { 4 } = ( - 1 ) ^ { 3 } C _ { 6 } ^ { 3 } 2 ^ { 6 - 2 \times 3 } $$
$$ = - 1 \cdot \frac { 6 \times 5 \times 4 } { 3 \times 2 \times 1 } \cdot 2 ^ { 0 } $$
$$ = - 20 \cdot 1 $$
$$ = - 20 $$