已知f ( x ) λ = | x + 1 | λ - |…——2018 高考数学第 23 题答案解析

（1）当 $a=1$ 时，函数表达式为 $f(x) = |x+1| - |x-1|$。
根据绝对值的几何意义或零点分段法，将定义域分为三段讨论：
① 当 $x < -1$ 时，$f(x) = -(x+1) - [-(x-1)] = -x-1+x-1 = -2$；
② 当 $-1 \leqslant x \leqslant 1$ 时，$f(x) = (x+1) - [-(x-1)] = x+1+x-1 = 2x$；
③ 当 $x > 1$ 时，$f(x) = (x+1) - (x-1) = 2$。
综上，$f(x) = \begin{cases} -2, & x < -1 \\ 2x, & -1 \leqslant x \leqslant 1 \\ 2, & x > 1 \end{cases}$。

求解不等式 $f(x) > 1$：
若 $x < -1$，$-2 > 1$ 不成立，无解；
若 $-1 \leqslant x \leqslant 1$，由 $2x > 1$ 得 $x > \frac{1}{2}$，结合区间得 $\frac{1}{2} < x \leqslant 1$；
若 $x > 1$，$2 > 1$ 恒成立，故 $x > 1$。
取并集得解集为 $(\frac{1}{2}, +\infty)$。

（2）当 $x \in (0, 1)$ 时，$x+1 > 0$，故 $|x+1| = x+1$。
原不等式 $f(x) > x$ 化为：
$(x+1) - |ax-1| > x$
整理得：$1 - |ax-1| > 0$，即 $|ax-1| < 1$。
去绝对值得：$-1 < ax-1 < 1$，
各边加 1 得：$0 < ax < 2$。
因为 $x \in (0, 1)$，即 $x > 0$，要使 $ax > 0$ 恒成立，必须有 $a > 0$（若 $a \leqslant 0$，则 $ax \leqslant 0$，与 $ax > 0$ 矛盾）。
在 $a > 0$ 的前提下，不等式 $ax < 2$ 对任意 $x \in (0, 1)$ 恒成立，等价于 $a < \frac{2}{x}$ 对任意 $x \in (0, 1)$ 恒成立。
因为 $x \in (0, 1)$，所以 $\frac{2}{x} \in (2, +\infty)$，$\frac{2}{x}$ 的下确界为 2。
要使 $a$ 小于 $\frac{2}{x}$ 的所有取值，只需 $a \leqslant 2$。
结合 $a > 0$，可得 $a$ 的取值范围是 $(0, 2]$。