（14分）如图，在四棱锥 P ~ - ~ A B C D…——2019 高考数学第 18 题答案解析

（Ⅰ）证明：
因为 $PA \bot$ 平面 $ABCD$，且 $BD \subset$ 平面 $ABCD$，
所以 $PA \bot BD$.
又因为底面 $ABCD$ 为菱形，根据菱形的性质，对角线互相垂直，
所以 $AC \bot BD$.
因为 $PA \cap AC = A$，且 $PA, AC \subset$ 平面 $PAC$，
所以 $BD \bot$ 平面 $PAC$.

（Ⅱ）证明：
因为底面 $ABCD$ 为菱形，且 $\angle ABC = 60^{\circ}$，
所以 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADC$ 均为等边三角形.
因为 $E$ 为 $CD$ 的中点，所以在等边 $\triangle ADC$ 中，$AE \bot CD$.
又因为菱形中 $AB // CD$，
所以 $AE \bot AB$.
因为 $PA \bot$ 平面 $ABCD$，且 $AE \subset$ 平面 $ABCD$，
所以 $PA \bot AE$.
因为 $PA \cap AB = A$，且 $PA, AB \subset$ 平面 $PAB$，
所以 $AE \bot$ 平面 $PAB$.
又因为 $AE \subset$ 平面 $PAE$，
所以平面 $PAB \bot$ 平面 $PAE$.

（Ⅲ）解：
棱 $PB$ 上存在点 $F$，使得 $CF //$ 平面 $PAE$，此时点 $F$ 为棱 $PB$ 的中点.
理由如下：
取 $AB$ 的中点 $G$，连接 $FG, CG$.
因为 $F$ 为 $PB$ 的中点，$G$ 为 $AB$ 的中点，
所以 $FG$ 为 $\triangle PAB$ 的中位线，故 $FG // PA$.
因为 $PA \subset$ 平面 $PAE$，$FG \not\subset$ 平面 $PAE$，
所以 $FG //$ 平面 $PAE$.
在菱形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $CD$ 中点，$G$ 为 $AB$ 中点，
所以 $AG = \frac{1}{2}AB$，$CE = \frac{1}{2}CD$.
因为 $AB = CD$ 且 $AB // CD$，
所以 $AG = CE$ 且 $AG // CE$.
所以四边形 $AECG$ 为平行四边形，故 $CG // AE$.
因为 $AE \subset$ 平面 $PAE$，$CG \not\subset$ 平面 $PAE$，
所以 $CG //$ 平面 $PAE$.
因为 $FG \cap CG = G$，且 $FG, CG \subset$ 平面 $CFG$，
所以平面 $CFG //$ 平面 $PAE$.
因为 $CF \subset$ 平面 $CFG$，
所以 $CF //$ 平面 $PAE$.