记VABC 是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知…——2021 高考数学第 19 题答案解析

（1）在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{b}{\sin \angle ABC} = \frac{c}{\sin C}$，可得 $\sin C = \frac{c \sin \angle ABC}{b}$。
已知 $BD \sin \angle ABC = a \sin C$，将 $\sin C$ 代入得：
$$ BD \sin \angle ABC = a \cdot \frac{c \sin \angle ABC}{b} $$
因为 $\angle ABC \in (0, \pi)$，所以 $\sin \angle ABC \neq 0$，两边约去 $\sin \angle ABC$ 得：
$$ BD = \frac{ac}{b} $$
又已知 $b^2 = ac$，即 $ac = b^2$，代入上式得：
$$ BD = \frac{b^2}{b} = b $$
故 $BD = b$ 得证。

（2）由题意 $AD:DC = 2:1$，且 $AC = b$，所以 $AD = \frac{2}{3}b$，$DC = \frac{1}{3}b$。
由（1）知 $BD = b$。
在 $\triangle ABD$ 中，由余弦定理得：
$$ \cos \angle ADB = \frac{BD^2 + AD^2 - AB^2}{2 BD \cdot AD} = \frac{b^2 + (\frac{2}{3}b)^2 - c^2}{2 b \cdot \frac{2}{3}b} = \frac{\frac{13}{9}b^2 - c^2}{\frac{4}{3}b^2} $$
在 $\triangle CBD$ 中，由余弦定理得：
$$ \cos \angle CDB = \frac{BD^2 + DC^2 - BC^2}{2 BD \cdot DC} = \frac{b^2 + (\frac{1}{3}b)^2 - a^2}{2 b \cdot \frac{1}{3}b} = \frac{\frac{10}{9}b^2 - a^2}{\frac{2}{3}b^2} $$
因为点 $D$ 在边 $AC$ 上，所以 $\angle ADB + \angle CDB = \pi$，故 $\cos \angle ADB = - \cos \angle CDB$。
即：
$$ \frac{\frac{13}{9}b^2 - c^2}{\frac{4}{3}b^2} = - \frac{\frac{10}{9}b^2 - a^2}{\frac{2}{3}b^2} $$
化简该等式：
$$ \frac{13b^2 - 9c^2}{12b^2} = \frac{9a^2 - 10b^2}{6b^2} $$
$$ 13b^2 - 9c^2 = 2(9a^2 - 10b^2) $$
$$ 13b^2 - 9c^2 = 18a^2 - 20b^2 $$
$$ 33b^2 = 18a^2 + 9c^2 \implies 11b^2 = 6a^2 + 3c^2 $$
将 $c = \frac{b^2}{a}$ 代入上式：
$$ 11b^2 = 6a^2 + 3\left(\frac{b^2}{a}\right)^2 = 6a^2 + \frac{3b^4}{a^2} $$
两边同乘 $a^2$ 并整理：
$$ 11a^2 b^2 = 6a^4 + 3b^4 $$
$$ 6a^4 - 11a^2 b^2 + 3b^4 = 0 $$
这是一个关于 $a^2$ 和 $b^2$ 的齐次方程，因式分解得：
$$ (2a^2 - 3b^2)(3a^2 - b^2) = 0 $$
解得 $a^2 = \frac{3}{2}b^2$ 或 $a^2 = \frac{1}{3}b^2$。

在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理：
$$ \cos \angle ABC = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} $$
因为 $ac = b^2$，且 $c = \frac{b^2}{a}$，所以：
$$ \cos \angle ABC = \frac{a^2 + \frac{b^4}{a^2} - b^2}{2b^2} = \frac{a^2}{2b^2} + \frac{b^2}{2a^2} - \frac{1}{2} $$

情形 1：若 $a^2 = \frac{1}{3}b^2$，则 $\frac{a^2}{b^2} = \frac{1}{3}$，$\frac{b^2}{a^2} = 3$。
$$ \cos \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 3 - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + 1 = \frac{7}{6} > 1 $$
余弦值不能大于 1，舍去。

情形 2：若 $a^2 = \frac{3}{2}b^2$，则 $\frac{a^2}{b^2} = \frac{3}{2}$，$\frac{b^2}{a^2} = \frac{2}{3}$。
$$ \cos \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{9 + 4 - 6}{12} = \frac{7}{12} $$
符合题意。

综上所述，$\cos \angle ABC = \frac{7}{12}$。