（12分）如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速…——2018 高考物理第 11 题答案解析

（1）设甲离子的质量为 $m_1$，电荷量为 $q_1$。
甲离子在电场中加速，根据动能定理有：
$q_1 U = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$

甲离子垂直射入匀强磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。由几何关系可知，甲离子从 $M$ 点射入、$N$ 点射出，且 $MN$ 长为 $l$，故其轨道半径 $R_1$ 满足：
$2 R_1 = l \implies R_1 = \frac{l}{2}$

根据牛顿第二定律有：
$q_1 v_1 B = m_1 \frac{v_1^2}{R_1}$

联立上述方程，消去 $m_1, q_1, R_1$，解得磁感应强度大小：
$B = \frac{m_1 v_1}{q_1 R_1} = \frac{m_1 v_1}{q_1 \frac{l}{2}} = \frac{2 m_1 v_1}{q_1 l}$
将 $\frac{m_1}{q_1} = \frac{v_1^2}{2U}$ 代入上式，得：
$B = \frac{2 v_1}{l} \cdot \frac{v_1^2}{2U} \cdot \frac{U}{v_1^2/2} \text{ (此处直接代换更简便)}$
或者由 $q_1 U = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 \Rightarrow \frac{q_1}{m_1} = \frac{v_1^2}{2U}$
$B = \frac{v_1}{R_1} \frac{m_1}{q_1} = \frac{v_1}{l/2} \frac{2U}{v_1^2} = \frac{2 v_1}{l} \frac{2U}{v_1^2} = \frac{4U}{v_1 l}$

（2）设乙离子的质量为 $m_2$，电荷量为 $q_2$，进入磁场的速度为 $v_2$，轨道半径为 $R_2$。
乙离子同样经电压 $U$ 加速，由动能定理：
$q_2 U = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \implies \frac{q_2}{m_2} = \frac{v_2^2}{2U}$

乙离子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律：
$q_2 v_2 B = m_2 \frac{v_2^2}{R_2} \implies R_2 = \frac{m_2 v_2}{q_2 B}$

由题意，乙离子在 $MN$ 的中点射出，故其弦长（即直径）为 $\frac{l}{2}$，则轨道半径：
$R_2 = \frac{1}{2} \times \frac{l}{2} = \frac{l}{4}$

对比甲、乙两离子的比荷 $\frac{q}{m}$：
对于甲离子：$\frac{q_1}{m_1} = \frac{v_1}{B R_1} = \frac{v_1}{B \frac{l}{2}} = \frac{2 v_1}{B l}$
对于乙离子：$\frac{q_2}{m_2} = \frac{v_2}{B R_2} = \frac{v_2}{B \frac{l}{4}} = \frac{4 v_2}{B l}$

我们需要找到 $v_1$ 与 $v_2$ 的关系或者直接利用半径公式推导比荷之比。
由 $R = \frac{mv}{qB}$ 和 $qU = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$，可得半径公式：
$R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mU}{q}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2U}{q/m}}$
即 $R \propto \frac{1}{\sqrt{q/m}}$，或者说 $\frac{q}{m} \propto \frac{1}{R^2}$ （当 $U, B$ 相同时）。

因此，甲、乙两种离子的比荷之比为：
$\frac{q_1/m_1}{q_2/m_2} = \frac{R_2^2}{R_1^2}$

已知 $R_1 = \frac{l}{2}$，$R_2 = \frac{l}{4}$，代入得：
$\frac{q_1/m_1}{q_2/m_2} = \frac{(\frac{l}{4})^2}{(\frac{l}{2})^2} = \frac{\frac{l^2}{16}}{\frac{l^2}{4}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

故甲、乙两种离子的比荷之比为 $1:4$。