已知 a>0，函数 f(x)=e^ a x sin x(x…——2015 高考数学第 21 题答案解析

取 $\rho\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，使 $\tan\rho=\frac1a$，则
$\sin\rho=\frac1{\sqrt{a^2+1}},\ \cos\rho=\frac a{\sqrt{a^2+1}}$。
于是
$f'(x)=e^{ax}(a\sin x+\cos x)=\sqrt{a^2+1}e^{ax}\sin(x+\rho)$。

因为 $e^{ax}>0$，所以 $f'(x)=0$ 等价于 $\sin(x+\rho)=0$，即 $x+\rho=m\pi$。
由 $x\ge0$ 且 $0<\rho<\frac{\pi}{2}$，得 $m=1,2,\ldots$，候选点为 $x=m\pi-\rho$。
在每个这样的点两侧，$\sin(x+\rho)$ 变号，故它们均为极值点，因此
$x_n=n\pi-\rho\ (n\in N^*)$。

此时
$f(x_n)=e^{a(n\pi-\rho)}\sin(n\pi-\rho)=(-1)^{n+1}e^{a(n\pi-\rho)}\sin\rho$。
所以
$\frac{f(x_{n+1})}{f(x_n)}
=\frac{(-1)^{n+2}e^{a((n+1)\pi-\rho)}\sin\rho}{(-1)^{n+1}e^{a(n\pi-\rho)}\sin\rho}
=-e^{a\pi}$，
为非零常数，故 $\{f(x_n)\}$ 是等比数列。

由 $\sin\rho=\frac1{\sqrt{a^2+1}}$，得
$|f(x_n)|=\frac{e^{a x_n}}{\sqrt{a^2+1}}$。
要使 $x_n<|f(x_n)|$，等价于
$\frac{\sqrt{a^2+1}}a<\frac{e^{a x_n}}{a x_n}$。

令 $g(t)=\frac{e^t}{t}\ (t>0)$，则
$g'(t)=\frac{e^t(t-1)}{t^2}$。
故 $g(t)$ 在 $(0,1)$ 上递减，在 $(1,+\infty)$ 上递增，最小值为 $g(1)=e$。

若 $a>\frac1{\sqrt{e^2-1}}$，则
$\frac{\sqrt{a^2+1}}a<e$。
又 $g(a x_n)\ge e$，所以不等式成立。

若 $a=\frac1{\sqrt{e^2-1}}$，记 $B=\sqrt{e^2-1}$，则 $a=\frac1B$，$\tan\rho=B$，且
$\frac{\sqrt{a^2+1}}a=e$。
此时只需证明 $g(a x_n)>e$，即 $a x_n\ne1$。

因为 $a x_n=\frac{n\pi-\rho}{B}$ 随 $n$ 严格递增，只需证
$\pi-\rho<B<2\pi-\rho$。

由 $e>\frac{65}{24}$ 得
$B^2=e^2-1>\left(\frac{65}{24}\right)^2-1>\frac{25}{4}$，故 $B>\frac52$；
由 $e<3$ 得 $B<e<3$。
又 $3<\pi<\frac{22}{7}<\frac{10}{3}$。

因 $B>1$，有 $\rho>\frac{\pi}{4}$，于是
$\pi-\rho<\frac{3\pi}{4}<\frac52<B$。
又 $\rho<\frac{\pi}{2}$，故
$2\pi-\rho>\frac{3\pi}{2}>\frac92>3>B$。
所以 $\pi-\rho<B<2\pi-\rho$。

因此 $a x_1<1<a x_2$，而 $a x_n$ 严格递增，故对一切 $n$，$a x_n\ne1$。
于是 $g(a x_n)>g(1)=e=\frac{\sqrt{a^2+1}}a$，不等式仍成立。

综上，若 $a\ge\frac1{\sqrt{e^2-1}}$，则对一切 $n\in N^*$，$x_n<|f(x_n)|$ 恒成立。