（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=ln x-…——2015 高考数学第 22 题答案解析

函数定义域为 $(0,+\infty)$。

（I）
\[ f'(x)=\frac1x-(x-1)=\frac{-x^2+x+1}{x}. \]
因为 $x>0$，所以 $f'(x)>0$ 等价于
\[ -x^2+x+1>0, \]
即
\[ x^2-x-1<0. \]
解得
\[ \frac{1-\sqrt5}{2}<x<\frac{1+\sqrt5}{2}. \]
结合定义域，得 $f(x)$ 的单调递增区间为
\[ \left(0,\frac{1+\sqrt5}{2}\right). \]

（II）令
\[ F(x)=f(x)-(x-1)=\ln x-\frac{(x-1)^2}{2}-(x-1). \]
则
\[ F'(x)=\frac1x-(x-1)-1=\frac1x-x=\frac{1-x^2}{x}. \]
当 $x>1$ 时，$F'(x)<0$，故 $F(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减。
又
\[ F(1)=0, \]
所以当 $x>1$ 时，
\[ F(x)<F(1)=0. \]
即
\[ f(x)-(x-1)<0, \]
因此当 $x>1$ 时，
\[ f(x)<x-1. \]

（III）设
\[ G(x)=f(x)-k(x-1). \]
题意等价于：存在 $x_0>1$，使得当 $x\in(1,x_0)$ 时，$G(x)>0$。

若 $k=1$，由（II）知，当 $x>1$ 时
\[ f(x)<x-1, \]
即 $G(x)<0$，不满足题意。

若 $k>1$，因为 $x>1$ 时 $x-1>0$，由（II）得
\[ f(x)<x-1<k(x-1), \]
所以 $G(x)<0$，也不满足题意。

若 $k<1$，则
\[ G(1)=0, \]
且
\[ G'(x)=\frac1x-x+1-k=\frac{-x^2+(1-k)x+1}{x}. \]
令
\[ -x^2+(1-k)x+1=0, \]
即
\[ x^2-(1-k)x-1=0. \]
其两根为
\[ x_1=\frac{1-k-\sqrt{(1-k)^2+4}}{2}<0, \]
\[ x_2=\frac{1-k+\sqrt{(1-k)^2+4}}{2}. \]
由于 $k<1$，有
\[ -x^2+(1-k)x+1\big|_{x=1}=1-k>0, \]
故正根 $x_2>1$。

当 $x\in(1,x_2)$ 时，
\[ -x^2+(1-k)x+1>0, \]
从而
\[ G'(x)>0. \]
因此 $G(x)$ 在 $(1,x_2)$ 上单调递增。结合 $G(1)=0$，可得当 $x\in(1,x_2)$ 时，
\[ G(x)>0, \]
即
\[ f(x)>k(x-1). \]
取 $x_0=x_2$ 即可。

综上，实数 $k$ 的所有可能取值为
\[ (-\infty,1). \]