如图，已知四棱台 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_…——2015 高考数学第 19 题答案解析

由题意，$AA_1 \perp$ 底面 $ABCD$，且底面为正方形，故 $AB, AD, AA_1$ 两两垂直。以 $A$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_1}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。
由题设知：$A(0,0,0)$，$B(6,0,0)$，$D(0,6,0)$，$A_1(0,0,6)$。
因为上底面边长为 3，下底面边长为 6，且侧棱投影在底面对角线上（或由梯形性质推导），可得 $B_1(3,0,6)$，$D_1(0,3,6)$。

（1）证明：
若 $P$ 是 $DD_1$ 的中点，则 $P$ 的坐标为 $D(0,6,0)$ 与 $D_1(0,3,6)$ 的中点，即 $P(0, \frac{9}{2}, 3)$。
$\overrightarrow{AB_1} = (3, 0, 6)$。
设 $Q$ 在 $BC$ 上，其横坐标为 6，纵坐标设为 $m$ ($0 \le m \le 6$)，即 $Q(6, m, 0)$。
$\overrightarrow{PQ} = (6-0, m-\frac{9}{2}, 0-3) = (6, m-\frac{9}{2}, -3)$。
计算数量积：
$\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{PQ} = 3 \times 6 + 0 \times (m-\frac{9}{2}) + 6 \times (-3) = 18 + 0 - 18 = 0$。
所以 $\overrightarrow{AB_1} \perp \overrightarrow{PQ}$，即 $AB_1 \perp PQ$。

（2）解：
设 $Q(6, m, 0)$，其中 $m=BQ$。
平面 $ABB_1A_1$ 即为 $xOz$ 平面，其法向量为 $\vec{n} = (0, 1, 0)$。
设 $P$ 分 $DD_1$ 的比为 $\lambda$，即 $\overrightarrow{DP} = \lambda \overrightarrow{DD_1}$。
$\overrightarrow{DD_1} = (0, -3, 6)$，故 $P(0, 6-3\lambda, 6\lambda)$。
$\overrightarrow{PQ} = (6, m-(6-3\lambda), -6\lambda) = (6, m+3\lambda-6, -6\lambda)$。
因为 $PQ // $ 平面 $ABB_1A_1$，所以 $\overrightarrow{PQ} \perp \vec{n}$，即 $\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{n} = 0$。
$m + 3\lambda - 6 = 0 \implies m = 6 - 3\lambda$。
此时 $Q(6, 6-3\lambda, 0)$，$P(0, 6-3\lambda, 6\lambda)$。

接下来利用二面角条件求 $\lambda$。
平面 $AQD$ 即底面 $ABCD$，法向量取 $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$。
设平面 $PQD$ 的法向量为 $\vec{n_2} = (x, y, z)$。
$\overrightarrow{DQ} = (6, -3\lambda, 0)$，$\overrightarrow{DP} = (0, -3\lambda, 6\lambda)$。
由 $\begin{cases} \vec{n_2} \cdot \overrightarrow{DQ} = 6x - 3\lambda y = 0 \\ \vec{n_2} \cdot \overrightarrow{DP} = -3\lambda y + 6\lambda z = 0 \end{cases}$，
取 $y=2$，则 $x=\lambda, z=1$（注意 $\lambda \neq 0$，若 $\lambda=0$ 则 $P=D$，不构成四面体，舍去）。
故 $\vec{n_2} = (\lambda, 2, 1)$。
二面角 $P-QD-A$ 的余弦值为 $\frac{3}{7}$，即 $|\cos \langle \vec{n_1}, \vec{n_2} \rangle| = \frac{3}{7}$。
$\frac{|1 \times 1|}{\sqrt{\lambda^2 + 2^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{\lambda^2 + 5}} = \frac{3}{7}$。
$\sqrt{\lambda^2 + 5} = \frac{7}{3} \implies \lambda^2 + 5 = \frac{49}{9} \implies \lambda^2 = \frac{4}{9}$。
因为 $P$ 在线段 $DD_1$ 上，$\lambda > 0$，故 $\lambda = \frac{2}{3}$。

由此可得点 $P$ 的竖坐标（即四面体的高）$h = z_P = 6\lambda = 6 \times \frac{2}{3} = 4$。
点 $Q$ 的纵坐标 $y_Q = 6 - 3(\frac{2}{3}) = 4$，即 $Q(6, 4, 0)$。
底面 $\triangle ADQ$ 中，$A(0,0), D(0,6), Q(6,4)$（在 $xOy$ 平面上）。
$S_{\triangle ADQ} = \frac{1}{2} \times |AD| \times x_Q = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$。
四面体 $ADPQ$ 的体积 $V = \frac{1}{3} S_{\triangle ADQ} \cdot h = \frac{1}{3} \times 18 \times 4 = 24$。